Document de cours de référence

170 10. Référentiels accélérés
(on suppose que l’axe x est dirigé vers le nord). La position du pendule est
et sa vitesse est
La force de Coriolis est alors
F Cor. = −2mΩ ∧ v
r = ρ ˆρ + zẑ (10.43)
v = v ρ ˆρ + v ϕ ˆϕ + v z ẑ (10.44)
= −2mΩ(cos λ cos ϕ ˆρ − cos λ sin ϕ ˆϕ + sin λ ẑ) ∧ (v ρ ˆρ + v ϕ ˆϕ + v z ẑ)
= −2mΩ(v ϕ cos λ cos ϕ + v ρ cos λ sin ϕ)ẑ + 2mΩ(v z cos λ sin ϕ + v ϕ sin λ) ˆρ
− 2mΩ(v ρ sin λ − v z cos λ cos ϕ) ˆϕ
(10.45)
La force totale sur le pendule est la somme de la force de tension du câble, de la force gravitationnelle
et de la force de Coriolis :
ma = T − mgẑ + F Cor. (10.46)
Nous ne résoudrons pas cette équation complètement, mais seulement sa composante en ϕ. Comme
la tension et la force gravitationnelle n’ont pas de composante en ϕ, tout se simplifie :
ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ = −2Ω(v ρ sin λ − v z cos λ cos ϕ) (10.47)
Puisque, par hypothèse, l’amplitude de l’oscillation du pendule est petite, on peut négliger v z en
tout temps. Comme v ρ = ˙ρ, on écrit donc
ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ = −2Ω sin λ ˙ρ (10.48)
La solution de cette équation peut être compliquée en général, car elle celle-ci est couplée aux
autres composantes de l’équation du mouvement par la présence de ρ et ˙ρ. Cependant, il existe
une solution particulière simple, obtenue en supposant que ˙ϕ est une constante, ce qui signifie que
le plan d’oscillation du pendule tourne à une vitesse constante. Dans ce cas, ¨ϕ = 0 et le facteur ˙ρ
se simplifie. Il reste
˙ϕ = −Ω sin λ (10.49)
En intégrant sur une période T pr. de précession, on trouve
T pr. =
2π
Ω sin λ = T 0
sin λ
(10.50)
où T 0 = 24h est la période de rotation de la Terre. Remarques :
1. Le signe de la relation (10.49) nous renseigne sur la direction de la précession. Dans l’hémisphère
nord (λ > 0), ˙ϕ est négatif et donc le plan du pendule précesse dans le sens horaire, alors que
c’est le contraire dans l’hémisphère sud.
2. À l’équateur (λ = 0) il n’y a aucune précession. Au pôle nord (λ = π/2), la période de précession
est 2π/Ω, soit la période de rotation de la Terre, comme il va de soi. À la latitude de Sherbrooke
(∼ π/4), la période de rotation est d’environ 33 1 2 heures.
3. La précession du pendule a été démontrée publiquement par Foucault en 1851 et constitue
une preuve que c’est la Terre qui est en rotation sur elle-même et non la voûte céleste!
On peut se demander, avec raison, si la formule (10.50) est spécifique à l’hypothèse que ˙ϕ est constant, ou si
elle est plus générale. Pour s’en assurer, on peut introduire une nouvelle coordonnée angulaire α qui tourne à
la vitesse de précession présumée du pendule, c’est-à-dire qu’on définit
ϕ = −Ω sin λ t + α =⇒ ˙ϕ = −Ω sin λ + ˙α (10.51)