Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 187
symétrie, K(V ) ne doit pas dépendre du sens de V: K(−V ) = K(V ). Puisque la transformation
inverse est
r ⊥ = K(−V )r ′ ⊥ = K(−V )K(V )r ⊥ (11.12)
On doit avoir K(V ) 2 = 1 ou K(V ) = 1. Donc les coordonnées transverses à la vitesse relative
ne sont pas affectées par la transformation : r ′ ⊥ = r ⊥ .
3. Donc, on cherche donc une transformation linéaire (x, t) → (x ′ , t ′ ) qu’on peut écrire sous la
forme suivante :
x ′ = ax + bt
t ′ (11.13)
= ex + ft
Les quatre constantes a, b, e, f ne dépendent que de V , la vitesse relative des deux référentiels.
Afin de déterminer les constantes a, b, e, f, voyons comment la vitesse v = dx/dt d’un objet dans
S est reliée à la vitesse dans le référentiel S ′ :
v ′ = dx′
dt ′
=
adx + bdt
edx + fdt = av + b
ev + f
(11.14)
Appliquons maintenant cette relation à trois cas particuliers :
1. Puisque l’origine de S ′ se déplace à une vitesse V dans S, on doit avoir v ′ = 0 si v = V , ou
encore 0 = (aV + b)/(eV + f). Donc b = −aV .
2. Un objet au repos dans S (v = 0) devrait avoir une vitesse v ′ = −V dans S ′ . Autrement dit,
v ′ = −V si v = 0, ou encore −V = b/f ou f = −b/V = a.
3. Un signal lumineux se propageant à vitesse c dans S devrait se propager à la même vitesse c
dans S ′ :
c = ac + b
ec + f , b = −aV , f = a ⇒ e = −aV/c2 (11.15)
En rassemblant ces contraintes, la transformation (x, t) → (x ′ , t ′ ) s’écrit
( ) ( ) ( ) ( )
x
′
1 −V x x
t ′ = a
−V/c 2 ≡ A(V )
1 t t
(11.16)
où a(V ) est une fonction de V encore à déterminer et A(V ) est la matrice de transformation. On
sait que a(0) = 1. De plus, a(V ) ne devrait pas dépendre du signe de V , mais seulement de son
carré, en raison de l’invariance par rapport à l’inversion de l’espace : les changements simultanés
x → −x x ′ → −x ′ V → −V (11.17)
ne devraient pas affecter la transformation. Or il se trouve que cette inversion change a(V ) en
a(−V ) et c’est tout. On en conclut que a(−V ) = a(V ). Finalement, on sait que la transformation
inverse (i.e. de S ′ à S) s’obtient en renversant le signe de V : A(V )A(−V ) = 1 ou encore
a(V )a(−V )
De cette contrainte on trouve que
(
1 −V
−V/c 2 1
a(V ) =
On peut donc écrire la transformation finale comme
) (
1 V
V/c 2 1
)
=
(
1 0
0 1
)
(11.18)
1
√
1 − V
2
/c 2 (11.19)
x ′ =
y ′ = y
x − V t √
1 − V
2
/c 2 t ′ = t − V x/c2 √
1 − V
2
/c 2
z ′ = z
(11.20)