Document de cours de référence

10. Référentiels accélérés 177
Écrivons maintenant l’énergie totale de la toupie (énergie de rotation plus énergie potentielle) et
exprimons-la uniquement en fonction de θ. On trouve
E = 1 2 Iω2 3 + 1 2 I′ (ω1 2 + ω2 2 ) + mgh cos θ (10.90)
Les composante ω 1,2 de la vitesse angulaire sont données en (10.65) et nous permettent d’exprimer
E en fonction de θ seulement et des quantités conservées ω 3 et J z :
E = 1 2 I′ ˙θ2 + 1 2 Iω2 3 + 1 ( ) 2 Jz − Iω 3 cos θ
2I ′ + mgh cos θ (10.91)
sin θ
Nous nous retrouvons avec un problème unidimensionnel (à une seule variable θ) comportant une
énergie cinétique “de nutation” 1 2 I′ ˙θ2 et une énergie potentielle effective
U eff. (θ) = cst. + 1 ( ) 2 Jz − Iω 3 cos θ
2I ′ + mgh cos θ (10.92)
sin θ
Le caractère (stable ou instable) de l’inclinaison θ de la toupie peut donc se déduire d’une étude
de ce potentiel effectif en fonction des constantes J z et ω 3 .
Si le potentiel effectif comporte un minimum entre θ = 0 et θ = π, alors le mouvement de précession
est stable (on montre que c’est le cas si la toupie est suffisamment rapide). Si l’énergie est minimale,
donc égale à la valeur de ce minimum, alors ˙θ = 0 et le mouvement de précession est uniforme, la
fréquence de précession étant déterminée par la relation (10.89). Si l’énergie totale est un peu plus
grande, alors l’angle θ oscille entre deux valeurs, et ceci correspond au mouvement de nutation.
Remarquons que le potentiel effectif diverge quand θ → 0 en raison du dénominateur en sin θ, sauf
si J z = Iω 3 . Dans ce cas particulier, on trouve plutôt que
U eff. (θ) = J z
2 1 − u
2I ′ + mghu u ≡ cos θ (10.93)
1 + u
Ce potentiel admet un minimum dans le domaine u ∈] − 1, 1[ pour la valeur
u = 1 −
J z
√ mghI
′
(10.94)
Il faut cependant que u > −1, car u = cos θ. Si la valeur de u tombe en dehors du domaine ] − 1, 1[,
c’est que le minimum du potentiel se trouve à la valeur u = 1, ou θ = 0. On est alors en présence
d’une toupie dormante. La condition de stabilité d’une toupie dormante est alors u < −1, ou encore
la même condition que trouvée précédemment.
J z > 2 √ mghI ′ =⇒ (Iω 3 ) 2 > 4mghI ′ (10.95)
Problème 10.1
Vous venez de vous installer debout dans le métro, tenant une pomme dans votre main, et soudainement
le métro démarre et garde une accélération constante a 0 dans la direction x. Sous le choc, la pomme vous
échappe des mains.
a) Identifiez les deux forces principales agissant sur la pomme (réelles ou fictives) dans le référentiel du wagon
de métro. Exprimez ces forces en fonction des vecteurs unité ˆx, ŷ et ẑ (on suppose bien sûr que l’axe des z