Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 197
On pourrait également reprendre le raisonnement qui a mené à la formule (11.52), sauf que la
période T devrait être remplacée par la période telle que perçue par l’observateur en mouvement,
soit T/γ, et on obtient alors
√
f = 1
T/γ = c + v (
L/γ = f 0 1 + v ) √
1 − v2 /c
c
2 1 + v/c
= f 0 (11.56)
1 − v/c
et donc le même résultat s’obtient que l’on considère la source en mouvement et l’observateur
immobile, ou bien la source au repos et l’observateur en mouvement.
Remarquons que les formules (11.50), (11.52) et (11.54) sont en accord à l’ordre v/c, mais que des
différences apparaissent à l’ordre (v/c) 2 :
1
1 − v/c = 1 + v ( v
) 2
c + + · · ·
c
1 + v/c = 1 + v (exact)
√
c
(11.57)
1 + v/c
1 − v/c = 1 + v ( v
) 2
c + 1 2 + · · ·
c
Effet Doppler gravitationnel
S
L’effet Doppler et le principe d’équivalence peuvent nous aider à comprendre
comment un champ gravitationnel peut affecter l’écoulement du temps. Considérons
la figure ci-contre, qui représente une source S qui émet un signal lu-
0
f
mineux de fréquence f 0 vers un détecteur D situé à une distance D plus bas.
L
On peut considérer que la source et le détecteur sont en repos relatif, dans le
champ gravitationnel terrestre g. Selon le principe d’équivalence, cette situation
est équivalente à celle d’un laboratoire situé dans un référentiel en accélération
a
a = g vers le haut. Considérons donc cette situation. Supposons que le signal
D
lumineux est émis au temps t = 0. Soit S le référentiel (inertiel) du montage à
ce moment-là. Comme le montage est accéléré, il n’est plus au repos par rapport
à S l’instant d’après. Cependant, la vitesse du montage étant initialement zéro par rapport à S,
elle n’a pas le temps de changer beaucoup pendant que le signal lumineux franchit la distance L,
de sorte que le temps nécessaire pour franchir cette distance est approximativement t = L/c et
la vitesse du montage (vers le haut) quand le détecteur reçoit le signal est v = at = aL/c. À ce
moment-là, le signal lumineux est perçu à une fréquence différente (plus grande) en raison de l’effet
Doppler. Au premier ordre en v/c, la fréquence détectée est
(
f = f 0 1 + v ) (
= f
c 0 1 + aL )
c 2 (11.58)
Sur la Terre (a = g), on doit donc observer une variation relative de fréquence
∆f
∣ f ∣ = gL
c 2 (11.59)
Cette variation est positive (∆f > 0) si la source est située au-dessus du détecteur (L > 0) et
négative dans le cas contraire (L < 0). Cette variation a été observée expérimentalement par
Pound et Rebka (1959) et Pound et Snider (1965), en plaçant une source au sous-sol d’une tour