Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 199
diffèrent par une rotation d’angle θ dans le plan xy, alors la relation entre les composantes de A
dans les deux systèmes est donnée par l’Éq. (1.25).
En relativité, la notion de vecteur peut être avantageusement étendue à des quantités comportant
quatre composantes et se transformant de la même manière que les coordonnées d’espace-temps
quand on passe d’un référentiel à l’autre. Plus précisément, un quadrivecteur est une quantité
représentée par quatre composantes (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ). La composante A 0 est appelée composante
temporelle, alors que les trois autres sont les composantes spatiales. La valeur précise de ces composantes
dépend du référentiel. Lorsqu’on passe d’un référentiel S à un référentiel S ′ se déplaçant
à une vitesse V ˆx par rapport à S, les composantes se transforment de la manière suivante :
A ′0 = γ(A 0 − βA 1 ) A ′1 = γ(A 1 − βA 0 ) A ′2 = A 2 A ′3 = A 3 (11.65)
où β = V/c et γ = (1 − β 2 ) −1/2 . En fait, un ensemble de quatre quantités A µ (µ = 0, 1, 2, 3)
doit se transformer de cette manière pour mériter le nom de quadrivecteur. Les trois composantes
spatiales sont parfois regroupées en un vecteur tridimensionnel dans la notation, de sorte qu’on
écrit souvent un quadrivecteur comme (A 0 , A). Dans ces notes, nous allons utiliser des caractères
sans sérif pour désigner un quadrivecteur par un seul symbole, par exemple A.
L’exemple fondamental de quadrivecteur est la ‘position’, dans l’espace-temps, d’un événement :
x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z (11.66)
ou encore x = (ct, r). La transformation (11.65) dans ce cas coïncide avec la transformation de
Lorentz (11.20). Notez que le temps a été multiplié par c dans la composante temporelle, de sorte
que les quatres composantes du quadrivecteur ont les mêmes unités.
Invariants
Un invariant est une quantité qui a exactement la même forme dans tous les référentiels. Étant
donné un quadrivecteur A µ , on montre facilement que la quantité (A 0 ) 2 − A 2 est un invariant. En
fait, étant donnés deux quadrivecteurs quelconques A et B, la quantité
est un invariant. Explicitement, ceci signifie que
A · B ≡ A 0 B 0 − A · B (11.67)
A 0 B 0 − A · B = A ′0 B ′0 − A ′ · B ′ (11.68)
où les primes réfèrent aux composantes du quadrivecteur dans le référentiel S ′ . Pour le démontrer,
il suffit d’utiliser la transformation de Lorentz (11.65):
A ′0 B ′0 − A ′ · B ′ = γ 2 (A 0 − βA 1 )(B 0 − βB 1 )
− γ 2 (A 1 − βA 0 )(B 1 − βB 0 ) − A 2 B 2 − A 3 B 3
= A 0 B 0 γ 2 (1 − β 2 ) − A 1 B 1 γ 2 (1 − β 2 ) − A 2 B 2 − A 3 B 3
= A 0 B 0 − A · B
(11.69)
car γ 2 (1 − β 2 ) = 1.
L’exemple le plus simple d’invariant est obtenu à partir du quadrivecteur position :
x · x = c 2 t 2 − r 2 (11.70)
Il s’agit de l’intervalle discuté précédemment.