Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 77
servent à spécifier la position d’une des particules, et les deux autres servent à spécifier la direction
de l’autre particule, connaissant la position de la première.
La conservation de l’énergie est très utile en général, mais dans le cas d’un système à un seul degré
de liberté, elle permet de résoudre complètement le mouvement du système. Donnons premièrement
quelques exemples de systèmes à un seul degré de liberté :
1. Un pendule, dont la tige a une longueur fixe, contraint d’osciller dans un plan. La seule variable
nécessaire pour spécifier la configuration du pendule est l’angle ϕ entre la tige et la verticale.
2. Une masse reliée à un ressort et ne pouvant osciller que dans une direction. Une seule coordonnée
(disons x) est nécessaire.
3. Une voiture se déplaçant sur les rails de montagnes russes. Seule la distance s parcourue par la
voiture le long des rails est nécessaire.
Dans le cas d’un objet contraint de se déplacer en une seule dimension, nous avons déjà vu comment
la notion d’énergie peut être utile (section 6.1). Si l’objet se déplace en plusieurs dimensions,
sous l’influence d’un champ de force conservatif, mais qu’il est contraint de suivre une courbe
prescrite et fixe, comme une voiture sur ses rails, alors la conservation de l’énergie est tout aussi
facilement applicable qu’en une dimension, car les forces de contraintes qui maintiennent l’objet
sur sa courbe ne peuvent changer l’énergie cinétique de la particule, car elles agissent toujours
perpendiculairement à la vitesse (voir section 6.6)
Reprenons l’exemple du pendule, tel qu’illustré à la page 51. L’énergie totale du pendule, en fonction
de l’angle ϕ, est
E = 1 2 mv2 + mgh = 1 2 m(l ˙ϕ)2 − mgl cos ϕ (6.41)
(le zéro d’énergie potentielle gravitationnelle est placé à la hauteur du pivot). La conservation de
l’énergie nous permet d’exprimer la vitesse angulaire ˙ϕ du pendule en fonction de l’angle ϕ :
l dϕ
dt = √
2E
m
+ 2gl cos ϕ (6.42)
En principe, cette relation permet de trouver l’angle ϕ en fonction du temps t, par intégration :
∫
ldϕ
dϕ
√ = dt =⇒ t = l √ (6.43)
2Em + 2gl cos ϕ
2Em + 2gl cos ϕ
Avec quelques réaménagements, cette équation est identique à l’Éq. (5.28). En effet, l’application du
principe de conservation de l’énergie et de la notion de force conservative n’est qu’un cas particulier
de la méthode du facteur intégrant, pour les systèmes à un degré de liberté.
La conservation de l’énergie nous permet aussi de calculer l’accélération angulaire du pendule, et
par là d’obtenir l’équation différentielle du mouvement. Plus explicitement, calculons la dérivée
par rapport au temps de l’énergie :
dE
dt
= ml ˙ϕ(l ¨ϕ + g sin ϕ) (6.44)
Cette dérivée doit être nulle, puisque l’énergie est conservée. On en déduit soit que ˙ϕ = 0, ce qui
ne peut pas être toujours le cas à moins que ϕ = 0, soit que
ce qui coïncide avec l’Éq. (5.16).
¨ϕ + g sin ϕ = 0, (6.45)
l