Document de cours de référence

10. Référentiels accélérés 175
dont la solution est
˙ φ = Iω 3
2I ′ cos θ
{
1 −
√
1 − 4I′ mgh cos θ
I 2 ω 2 3
}
(10.75)
Le signe négatif de la racine a été choisi, de sorte que dans la limite de la toupie rapide (I 2 ω3 2 ≫
4I ′ mgh cos θ), on obtient le résultat connu (éq. (9.71)). Ceci se démontre par un développement
du binôme de la racine carrée :
˙ φ ≈ Iω 3
2I ′ cos θ
{ (
)}
1 − 1 − 2I′ mgh cos θ
I 2 ω3
2 = mgh
(10.76)
Iω 3
La solution (10.75) a le mérite de s’appliquer aussi au cas d’une toupie moins rapide, à condition
bien-sûr que le discriminant soit positif :
I 2 ω 2 3 > 4I′ mgh cos θ (10.77)
Si cette condition est violée, le mouvement de précession uniforme est impossible (la toupie de
tourne pas assez vite sur elle-même).
Nutation
Supposons maintenant que la précession soit presque uniforme, c’est-à-dire que les angles θ et φ
soient presque ceux qu’on obtient lors de la précession uniforme. Nous allons étudier les petites
déviations à la précession uniforme, dans le but de voir si elles conduisent à un mouvement stable
et, dans l’affirmative, de calculer la fréquence des oscillations autour de ce mouvement stable. On
procède donc au remplacement suivant dans les équations (10.72) :
θ → θ + δθ φ → φ + δφ (10.78)
et on procède à un développement de ces équations au premier ordre en δθ ou en δφ. Tous les
termes qui ne contiennent ni δθ, ni δφ sont éliminés de l’équation, car par définition ces termes
décrivent la précession uniforme qui est déjà une solution aux équations (10.72). Ceux qui restent
sont les termes du premier ordre en δθ et en δφ, et forment les équations suivantes :
⎧
⎨ I ′ δ¨θ + δθ
⎩
(
Iω 3 ˙ φ cos θ − I ′ ˙ φ 2 cos 2θ − mgh cos θ
− I ′ sin θδ ¨φ + δ ˙θ(Iω 3 − 2I ′ ˙ φ cos θ) = 0
)
+ δ ˙ φ
(
Iω 3 sin θ − I ′ ˙ φ sin 2θ
)
= 0
(10.79)
Ce système d’équations différentielles linéaires pour δθ et δφ peut se résoudre en différentiant la
deuxième équation et en y substituant la première (notons que seules les variations δθ et δφ sont
dérivées par rapport au temps, les angles θ et φ étant considérés comme constants). On trouve
alors une équation du type
d 3 θ dθ
+ γ2
dt3 dt = 0 (10.80)
où γ est la fréquence de l’oscillation, ou de la nutation, autour de la solution de précession uniforme.
Dans le cas d’une toupie rapide, la solution est simple, car on peut alors négliger φ ˙ devant ω 3 , et
aussi mgh devant Iω ˙ 3 φ (selon le résultat (10.76)) et on trouve le système d’équation simplifé
I ′ δ¨θ + δθIω 3 ˙ φ cos θ + δ ˙ φIω 3 sin θ = 0
− I ′ sin θδ ¨φ + δ ˙θIω 3 = 0
(10.81)
En différentiant la deuxième équation et en y substituant la première, on trouve
(
)
d 3 θ
dt 3 + Iω ˙ 3 φ cos θ
I ′ + I2 ω3
2 dθ
I ′2 dt = 0 (10.82)