Document de cours de référence

24 2. Mouvement d’un point
le cylindre les coordonnées (u, v), qui sont les coordonnées cartésiennes sur le cylindre lorsque celui-ci est
déroulé sur un plan. La relation entre (u, v) et (ϕ, θ) est donc
u = Rϕ
v = R cos θ
sin θ
d) Donnez une expression pour les coordonnées de Mercator du satellite en fonction du temps. Supposez en
outre que la Terre tourne avec une fréquence angulaire Ω et tracez l’allure de la trajectoire (u(t), v(t)) pour
un satellite de période T = 4 heures (aidez-vous d’un ordinateur).
Problème 2.7
Une bille de masse m est libre de se déplacer sans frottement le long d’une tige
rigide qui est elle-même en rotation uniforme sur un plan, avec une vitesse angulaire
ω. La bille est tenue en place jusqu’à t = 0 à une distance ρ 0 de l’origine
(le centre de rotation). À t = 0 elle est relâchée et commence alors à s’éloigner
de l’origine O de plus en plus vite.
a) En utilisant les coordonnées cylindriques pour décrire la position de cette
bille et sachant que la force exercée par la tige sur la bille agit toujours perpendiculairement
à la tige, montrez que ¨ρ = ω 2 ρ (notez que l’accélération a
est toujours dans la direction de la force appliquée F).
b) Montrez que la solution à cette équation différentielle satisfaisant aux conditions
initiales ρ(0) = ρ 0 et ˙ρ(0) = 0 est
ρ(t) = ρ 0 cosh ωt
où cosh x désigne le cosinus hyperbolique de x.
c) Montrez que la force exercée par la tige sur la bille est
F = 2mω 2 ρ 0 sinh ωt ˆϕ
+
O
ω
m
En étant réaliste, qu’arrive-t-il, selon vous, si la tige est trop longue? Peut-elle résister?
Problème 2.8
La science grecque de l’époque alexandrine nous a laissé une
C
représentation du mouvement des planètes basée sur des
cercles : c’est le système des épicycles et des excentriques,
B
décrit par Claude Ptolémée dans son ouvrage l’Almageste.
D
La planète se déplace à vitesse constante (correspondant
E
A
à une fréquence angulaire ω) le long d’un petit cercle appelé
épicyle. Le centre de l’épicycle n’est pas fixe, mais se
épicycle
déplace lui-aussi à vitesse constante (fréquence Ω) le long
d’un autre cercle appelé déférent. Par exemple, sur la figure,
le déférent est plus grand que l’épicycle et les points
direct
O
mouvement
A à E sont équidistants sur l’épicyle et séparés par des
temps égaux. Appelons R 1 et R 2 les rayons du déférent et
de l’épicycle, respectivement. Sur la figure, R 2 < R 1 , mais
il est aussi possible que R 2 > R 1 ; dans ce cas, l’épicycle est
déférent
mouvement
appelé excentrique. À t = 0, on supposera que le centre de
rétrograde
l’épicycle est à la position R 1ˆx et que la planète fait un angle
φ avec le centre de l’épicycle et l’axe des x. On suppose
que Ω > 0, de sorte que le centre de l’épicycle se déplace
dans le sens antihoraire.
a) Exprimez la position r(t) de la planète en fonction du
temps et des paramètres R 1 , R 2 , Ω, ω et φ. Indice : à t = 0, on a r(0) = (R 1 + R 2 cos φ)ˆx + R 2 sin φ ŷ.
φ
t = 0