Document de cours de référence

88 6. Énergie et Travail
Problème 6.5
Considérez le champ de force suivant :
F = −(2x + y)ˆx − (2y + x)ŷ
Trouvez, par essai et erreur, le potentiel U correspondant, s’il existe.
Problème 6.6
Supposons qu’on désire envoyer une sonde sur la Lune. Une fois que la fusée a quitté l’atmosphère terrestre,
elle relâche la sonde qui doit être en mesure d’atteindre la Lune sans apport d’énergie, c’est-à-dire en vertu de
sa seule vitesse de lancement. On supposera, pour simplifier, que la Lune et la Terre sont stationnaires et que
l’objet ne subit que l’attraction gravitationnelle combinée de la Terre et de la Lune. On utilisera la notation
suivante : M T et M L sont les masses de la Terre et de la Lune, respectivement. R T et R L sont les rayons
de la Terre et de la Lune (R T inclut le rayon de l’atmosphère terrestre). La distance Terre-Lune (centre à
centre) est d. On introduit aussi les rapports µ = M L /M T , ρ = R L /R T et ∆ = d/R T . Numériquement, on a
µ = 0, 0123, ρ = 0, 271 et ∆ = 60, 2.
Note : dans chaque partie, ne calculez la valeur numérique de la quantité requise qu’à la toute fin de vos
calculs, après avoir exprimé votre résultat complet en fonction des paramètres ci-haut.
a) Pour atteindre la Lune, la sonde doit au moins atteindre un point, situé à une distance r 0 du centre de la
Terre, entre la Terre et la Lune, où l’énergie potentielle est maximale. Calculez r 0 et exprimez votre réponse en
fonction de d et µ seulement et donnez-en une valeur numérique en tant que fraction de la distance Terre-Lune
d.
b) Oublions la Lune pour le moment. Quelle doit être la vitesse minimale de la sonde, en s’échappant de
l’atmosphère terrestre, pour qu’elle puisse s’éloigner à l’infini? Cette vitesse est appelée vitesse de libération
et notée v lib. . Donnez-en une valeur numérique, en km/s.
c) Calculez la vitesse minimale que doit posséder la sonde en quittant l’atmosphère terrestre, pour parvenir
jusqu’à la Lune, c’est-à-dire pour franchir le point déterminé en (a). Exprimez votre réponse en fonction de
v lib. (trouvé en (b)), de ∆ et de µ seulement. Donnez aussi une valeur numérique en km/s.
d) Calculez la vitesse à laquelle la sonde frappe la surface lunaire, en supposant qu’elle ait été lancée à la
vitesse minimale obtenue en (c). Exprimez votre réponse en fonction de v lib. , ∆, µ et ρ seulement.
Problème 6.7
On s’attend naturellement à ce que le champ gravitationnel terrestre g diminue lorsqu’on monte en altitude
et aussi lorsqu’on descend dans un puits de mine.
a) En supposant que la Terre est parfaitement sphérique, démontrez que le champ gravitationnel mesuré au
sommet d’une tour de hauteur h devrait être
(
g(h) = g 0 1 − 2 h )
R ⊕
b) Démontrez que le champ gravitationnel mesuré au fonds d’un puits de profondeur h devrait être
g(h) = g 0
(
1 + (2 − 3ρ c /¯ρ) h
R ⊕
)
où ρ c est la densité (masse par unité de volume) de la croûte terrestre et ¯ρ est la densité moyenne de la Terre
(prise sur tout son volume).
Ici, g 0 est le champ gravitationnel mesuré à la surface de la Terre. Un développement de Taylor au premier
ordre doit être effectué (on considère que r/R ⊕ ≪ 1).