Document de cours de référence

200 11. Relativité restreinte
Temps propre
Considérons un objet qui se déplace dans l’espace-temps, comme une particule ou un voyageur
sidéral. Dans l’espace-temps, le mouvement de ce point trace une certaine trajectoire, correpondant
à une suite continue d’événements successifs. On définit le temps propre de cet objet comme le
temps tel qu’il s’écoule dans le référentiel propre à cet objet. On note le temps propre τ.
Si un objet se déplace à une vitesse constante v par rapport au référentiel S, alors son temps
propre est simplement relié au temps t du référentiel par la formule de dilatation du temps :
τ = t √ 1 − v 2 /c 2 . Par exemple, l’horloge en mouvement par rapport à S a une période T 0 en
fonction de son temps propre, mais une période T telle que mesurée dans le référentiel S, avec la
relation T 0 = T √ 1 − v 2 /c 2 .
Si un objet ne se déplace pas à une vitesse constante, le calcul de son temps propre en fonction du
temps t est plus compliqué. On peut cependant affirmer que la différentielle de temps propre dτ
associée à une différentielle de temps dt est
dτ = dt
γ = dt√ 1 − v 2 /c 2 (11.71)
où v est la vitesse de l’objet à ce moment là (v dépend du temps). Le temps propre écoulé depuis
l’instant t = 0 est donc
τ =
∫ t
0
dt 1
√
1 − v(t1 ) 2 /c 2 (11.72)
Le temps propre d’un objet est un invariant, puisque sa définition, dans tout référentiel, nous
ramène nécesairement au référentiel propre à l’objet.
Quadrivitesse
Un autre quadrivecteur qu’il est possible de construire sur la trajectoire d’un objet est la quadrivitesse,
définie par
u = dx dt
= (c
dτ dτ , dr
dτ )
Comme
dr
dτ = dr dt
dt dτ =
les composantes de la quadrivitesse sont donc
u µ =
v
√
1 − v2 /c 2 (11.73)
1
√
1 − v2 /c 2 (c, v x , v y , v z ) (11.74)
La quadrivitesse est un quadrivecteur, parce qu’elle est le quotient d’un quadrivecteur (dx), par un
invariant (dτ). Donc, les composantes de la vitesse se transforment d’un référentiel à l’autre par la
transformation de Lorentz (11.65). Avec la quadrivitesse on construit l’invariant suivant :
u · u =
1
1 − v 2 /c 2 (c2 − v 2 ) = c 2 (11.75)
Il se trouve que cet invariant est trivial : il ne fait que réitérer l’invariance de la vitesse de la
lumière.
Il est possible de retrouver la formule de transformation des vitesses (11.44) en appliquant la transformation
de Lorentz (11.65) au quadrivecteur vitesse. En effet, soit (u 0 , u 1 , 0, 0) les composantes