Document de cours de référence

4. Les forces macroscopiques 47
b) Si y ′ représente la dérivée dy/dx, démontrez, en vous servant des résultats de (a), que
d 2 y
dx 2 = dy′
dx = 1 √
1 + (y
ξ
′ ) 2 où ξ ≡ T 0
λg
c) Solutionnez cette équation différentielle et obtenez une forme explicite de y en fonction de x et de ξ.
d) Calculez la tension T (x).
Problème 4.8
Une bille percée de masse m est contrainte de glisser le long d’un fil métallique hélicoïdal,
sous l’effet de la gravité. La bille glisse à vitesse constante et sa position en fonction du
temps est donnée par l’expression suivante :
ẑ
r(t) = R(ˆx cos ωt + ŷ sin ωt) − γtẑ
où R est le rayon de l’hélice et γ est une constante ayant les unités de la vitesse.
a) Calculez le vecteur-vitesse de la bille. Quelle est la grandeur de la vitesse?
m
b) Calculez le vecteur-accélération de la bille. Dans quelle direction pointe-t-il?
c) La bille est soumise à la force de gravité F grav. = −mgẑ et pourtant elle tombe à une
vitesse angulaire constante. Ceci signifie qu’une force de frottement agit sur la bille le long du fil. Cette force
est nécessairement dirigée le long du fil, dans la direction opposée à la vitesse. Calculez la grandeur de cette
force. Indice : vous devez connaître la composante de F grav. le long du fil.
Problème 4.9
Considérez le plan incliné illustré. Une bloc de masse m 2 repose
sur le plan. Il est attaché, via des fils et des poulies, à deux autres
blocs de masses m 1 et m 3 . On supposera que les poulies et le plan
n’exercent aucune friction. Le plan fait un angle θ par rapport à
l’horizontale. La distance x que fait le centre du bloc de masse m 2
avec le haut du plan peut servir de coordonnée pour la position
du bloc et on peut définir un système d’axes inclinés ˆx et ŷ, tel
qu’indiqué. Le plan incliné est fixe, mais les trois masses sont sous
l’influence de la gravité.
m x 2
m 1
θ
a) Dans un premier temps, la masse m 3 n’est pas reliée au bloc
(faites comme si elle n’existait pas). Quelles sont les forces pertinentes
s’exerçant sur le bloc de masse m 2 ? Exprimez l’accélération du bloc (c’est-à-dire ẍ) en fonction des
paramètres du problème (m 1 , m 2 , g et θ). Indice : vous devez aussi considérer le mouvement de la première
masse pour résoudre ce problème. À quelle condition doivent satisfaire m 1 , m 2 et θ pour que le système
demeure en équilibre?
b) Supposons maintenant que les masses m 1 et m 2 sont en équilibre (les conditions demandées en (a) sont
respectées). On attache maintenant la troisième masse au bloc, comme indiqué sur la figure. Montrez que
l’angle ϕ doit être nul pour que le système soit en équilibre. Qu’arrive-t-il s’il n’est pas nul? Quelle condition
doit respecter m 3 pour que le bloc reste en contact avec le plan incliné?
c) Supposez que le système des trois masses est en équilibre (ϕ = 0). Déplaçons légèrement le bloc le long du
plan, de sorte que l’angle ϕ est non nul, mais petit (suffisamment petit pour supposer que la longueur l entre
le bloc et la poulie reste à peu près constante). Trouvez une équation différentielle simple pour l’évolution
dans le temps de l’angle ϕ. Notez que la seule variable pouvant figurer dans cette équation est ϕ (pas x). Les
paramètres figurant dans cette équation sont g, l et les trois masses.
l
ϕ
m 3
ŷ
xˆ