Document de cours de référence

156 9. Moment cinétique et rotation des corps
de l’énergie initiale perdue en raison de l’action des forces de frottement. Notez que toutes les boules ont la
même masse et le même rayon.
Indice : la force de frottement ne s’applique que s’il y a glissement des boules sur le tapis et elle disparaît
aussitôt que la contrainte de roulement est satisfaite. Dans le temps que cette force existe, elle produit un
couple qui modifie la vitesse angulaire de chaque boule, en même temps que cette force les accélère (ou
décélère). Il est pratique de trouver en un premier temps le temps τ pendant lequel cette force s’applique. Les
vitesses finales sont des fractions simples de la vitesse initiale v 0 .
Problème 9.16
Un objet en forme d’haltère est constitué de deux masses m reliées par une tige de masse négligeable. La
distance (centre à centre) entre les deux masses est 2a. Cet objet se déplace à une vitesse v vers la droite
sans aucun mouvement de rotation sur lui même. Il entre en collision avec une masse m au repos située à
l’origine (la masse inférieure de l’haltère est à y = 0). Après la collision, les deux objets se dirigent vers la
droite, le premier avec une vitesse v ′ et le second avec une vitesse u. De plus, le premier objet tourne sur
lui-même avec une vitesse angulaire ω. Dans ce processus de collision l’énergie est conservée, mais une partie
de l’énergie cinétique de translation se convertit en énergie cinétique de rotation. Vous pouvez considérer que
les trois masses en présence sont ponctuelles.
y
m
m
v
avant
m
m
ω
m
après
m
v
′
u
x
Problème 9.16
a) Écrivez l’énergie totale E, la composante P x de la quantité de mouvement totale et la composante J z du
moment cinétique total par rapport à l’origine, avant la collision, en fonction de m, v et a.
b) Écrivez E, P et J après la collision en fonction de m, a, v′ , ω et u.
c) Exprimez u, ω et v ′ en fonction de v en supposant que l’énergie, la quantité de mouvement et le moment
cinétique sont conservés.
Problème 9.17
a) Montrez que le moment d’inertie I d’une coquille sphérique très
mince (une sphère creuse) de masse M, de rayon R et de densité
uniforme, est I = 2 3 MR2 . Pour ce faire, vous pouvez soit utiliser
une intégrale, en faisant la somme des moments d’inerties d’un ensemble
d’anneaux; plus simplement, vous pouvez utiliser un principe
différentiel, à partir du moment d’inertie d’une sphère pleine de rayon
R et de masse M, qui est 2 5 MR2 . Utilisez la méthode de votre choix.
b) Considérons maintenant un ballon rigide (donc une coquille sphérique)
de masse M et de rayon R, sur lequel on colle une petite masse m
fixée à la périphérie interne du ballon (on peut négliger les dimensions
de cette petite masse par rapport à R). Supposons que le ballon soit libre de rouler sur une surface plane, mais
sans glisser. Supposons de plus que le ballon roule autour d’un axe qui sort de la page, perpendiculaire à la
petite masse, comme illustré. Écrivez une expression pour l’énergie totale du ballon (cinétique + potentielle)
ϕ
m
M
z
x
y