Document de cours de référence

112 8. Mouvement dans un champ de force central
Exemple : distance minimale d’approche
Comme application de la conservation du moment cinétique, considérons un proton ayant une
vitesse v 0 à l’infini et entrant en collision avec un noyau de charge Ze situé à l’origine (voir la
Fig. 8.4; on suppose le noyau fixe à l’origine). Dans un processus de collision comme celui-ci, le
paramètre d’impact b est défini comme la distance entre la cible (le noyau) et la droite que suivrait
le projectile s’il n’était pas dévié par la cible (cf. Fig. 8.4).
v 0
noyau
s
b
v
Figure 8.4. Processus de collision d’un projectile sur une cible fixe, avec paramètre d’impact b. À
l’infini, la vitesse de la particule est v 0 . Si elle n’était pas déviée par la cible, elle passerait à une
distance b de celle-ci, mais la répulsion la fait passer, au point le plus proche, à une distance s de la
cible.
L’énergie potentielle du proton en présence de ce noyau est
U(r) = k Ze2
r
(8.11)
Le moment cinétique initial du proton (évalué à l’origine) est J = mv 0 b (m est la masse du proton).
Au point le plus proche du noyau, le proton a une vitesse v s < v 0 dans la direction perpendiculaire
à son rayon-vecteur et est situé à une distance s du noyau. Le problème est de calculer cette
distance minimale d’approche s. Le moment cinétique du proton, à ce moment, est J = mv s s. La
conservation du moment cinétique nous dicte donc
s = b v 0
v s
(8.12)
Cependant, nous désirons exprimer s uniquement en fonction de quantités connues bien avant la
collision, à savoir b et v 0 . Nous devons donc exprimer v s en fontion de ces quantités, ce qui peut se
faire en utilisant la loi de conservation de l’énergie :
Il s’agit d’une équation quadratique en 1/s:
1
2 mv2 0 = 1 2 mv2 s + k Ze2
s
k Ze2
s
= 1 2 mv2 0b 2
s 2
= 1 2 mv2 0
+ k Ze2
s
(1 − b2
s 2 )
(8.13)
(8.14)