Document de cours de référence

12 1. Rappels sur les vecteurs
En substituant l’expression de ˆρ en fonction de ˆx et ŷ, on arrive à l’expression suivante de la base
locale en coordonnées sphérique, en fonction de la base cartésienne :
ˆr = ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ
ˆθ = ˆx cos θ cos ϕ + ŷ cos θ sin ϕ − ẑ sin θ
ˆϕ = −ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ
(1.45)
Rappelons encore que ces vecteurs pointent dans la direction où la coordonnée correspondante
augmente. Comme les deux bases {ˆx, ŷ, ẑ} et {ˆr, ˆθ, ˆϕ} sont orthonormées, la relation inverse de
(1.45) s’obtient en transposant la matrice formées par les coefficients apparaissant dans (1.45) :
ˆx = sin θ cos ϕ ˆr + cos θ cos ϕ ˆθ − sin ϕ ˆϕ
ŷ = sin θ sin ϕ ˆr + cos θ sin ϕ ˆθ + cos ϕ ˆϕ
ẑ = cos θ ˆr − sin θ ˆθ
(1.46)
Dans ce repère sphérique, le vecteur position r s’exprime comme
où, encore une fois, le vecteur ˆr est celui basé au point r.
r = rˆr (1.47)
Problème 1.1
a) À partir de la définition géométrique du produit scalaire, démontrez-en la distributivité : A · (B + C) =
A · B + A · C.
b) À partir de la définition géométrique du produit vectoriel, démontrez-en la distributivité : A ∧ (B + C) =
A ∧ B + A ∧ C, dans le cas où A est perpendiculaire à B et à C.
c) Généralisez la preuve de (b) au cas de trois vecteurs A, B, C quelconques.
Problème 1.2
Soit les vecteurs suivants :
A = ˆx − ŷ B = ŷ − ẑ C = ˆx + ẑ
a) Calculez la grandeur de ces trois vecteurs et les angles ̸ AB, ̸ AC et ̸ BC.
b) Les vecteurs A, B et C peuvent-ils former une base dans R 3 ?
c) Calculez les vecteurs suivants :
A ∗ =
B ∧ C
A · (B ∧ C)
B ∗ =
C ∧ A
A · (B ∧ C)
C ∗ =
A ∧ B
A · (B ∧ C)
Quels sont les produits scalaires de ces vecteurs avec A, B et C?
d) Quel est le volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs {A, B, C}? Quelles sont les aires des