Document de cours de référence

7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 107
Problème 7.6
Une particule de masse m, animée d’une vitesse v (en une dimension),
entre en collision avec un système de deux objets de
v
masses M) (système ci-après désigné par la lettre A) reliés par m
un ressort de constante k . Au départ, les deux objets reliés par
M M
un ressort sont au repos et le ressort n’est ni comprimé, ni étiré (voir figure). On suppose que la collision entre
la particule et la masse M située à gauche est instantanée et élastique. Ceci signifie que la masse M n’a pas
eu le temps de bouger que la collision est déjà terminée.
a) Calculez la vitesse v ′ 1 de la particule après la collision et la vitesse V ′ du centre de masse du système A
après la collision.
b) Si E int. désigne l’énergie interne (cinétique + potentielle) du système A et E 0 l’énergie initiale de la particule,
calculez le rapport E int. /E 0 en fonction seulement du rapport r = m/M. Que vaut ce rapport dans les
limites r → 0 et r → ∞?
c) Supposons que vous cherchez à briser le système A, sachant, par exemple, que le ressort se brise au-delà
d’un certain étirement. L’énergie E 0 que vous donnez à la particule que vous projetez sur le système A est
fixe, mais vous avez le choix de la masse m. Quelle valeur de m (par rapport à M) devez-vous utiliser pour
maximiser vos chances de réussir?
Problème 7.7
Deux balles de caoutchouc, parfaitement élastiques et respectivement de masse m et
M (m < M) sont relâchées l’une au-dessus de l’autre d’une hauteur h. La plus grosse
des deux balles rebondit sur le sol et la deuxième balle rebondit l’instant d’après sur
la plus grosse balle. Supposez que tout le mouvement est vertical.
a) Tout juste avant la collision des deux balles, quelles sont leurs vitesses et quelle
est la vitesse du centre de masse des deux balles?
b) Quelle est la vitesse de la petite balle après la collision?
c) Montrez que la hauteur maximale de la petite balle sera
h max =
( ) 3M − m 2
h
M + m
m
M
Problème 7.8
L’une des attractions qu’on voit souvent trôner dans les officines bureaucratiques
est un ensemble de pendules contigus constitués de billes d’acier, chacune
suspendue par deux fils. Lorsqu’on laisse tomber une bille d’un certain θ
angle, elle entre en collision avec les billes restantes et le choc se transmet
entièrement à la bille située à l’autre extrémité, qui monte à son tour, redescend,
retransmet le choc à la première bille, etc.. Les billes centrales semblent
ne jouer qu’un rôle de “transfert de choc”, sans bouger. Or, cela n’est
m
pas tout à fait vrai : à la longue, les billes centrales oscillent peu à peu et à la
m m m m
fin l’ensemble des billes oscille de manière solidaire, avec une amplitude plus
petite que l’amplitude de la bille initiale. Ce phénomène est dû au fait que les collisions entre les billes ne
sont pas parfaitement élastiques mais qu’une petite partie de l’énergie est perdue en chaleur à chaque coup.
Supposons ici qu’il s’agit de la seule perte d’énergie : on néglige la résistance de l’air ou les pertes dues au
frottement des fils de suspension. Considérez un système de deux billes seulement. Si la première bille est
initialement relâchée d’un angle θ, quelle sera l’amplitude θ ′ de l’oscillation solidaire des deux billes à la fin?
Donnez une relation entre θ et θ ′ n’impliquant aucun autre paramètre. Comment cela change-t-il si le système
compte 5 billes au lieu de deux?
Indice : lors de chaque collision, l’énergie n’est pas conservée, mais elle est conservée lors de l’oscillation d’une
ou plusieurs billes. Inversement, une autre quantité est conservée lors de chaque collision, mais pas pendant
l’oscillation. Vous pouvez supposer, si vous le désirez, que les amplitudes d’oscillation sont petites, de sorte