Document de cours de référence

10 Référentiels accélérés
Un référentiel inertiel est une idéalisation. En pratique, les référentiels que nous utilisons, comme le
référentiel terrestre, ne sont pas exactement inertiels. Il est donc important de comprendre comment
incorporer dans l’étude du mouvement les effets qui proviennent d’un référentiel accéléré.
10.1 Forces d’inertie
Un référentiel est dit accéléré s’il n’est pas inertiel, c’est-à-dire si son origine ou ses axes sont en
mouvement accéléré par rapport à un référentiel inertiel. Considérons d’abord le cas d’un référentiel
accéléré S a dont les axes ont la même orientation que les axes d’un référentiel inertiel S i . L’origine
du référentiel S a par rapport à S i est le vecteur r 0 (t) et peut dépendre du temps d’une manière
quelconque. Un objet en mouvement est caractérisé par une position r i dans le référentiel S i et une
position r a dans le référentiel S a . Bien sûr,
r a = r i − r 0 (t) (10.1)
En prenant la dérivée par rapport au temps de cette relation, on trouve
v a = v i − v 0 (t) , (10.2)
où v 0 est la vitesse instantanée du référentiel S a par rapport à S i . Si v 0 est constante, c’est que
S a n’est pas accéléré, mais constitue un autre référentiel inertiel. Si on dérive une fois de plus par
rapport au temps, on trouve
a a = a i − a 0 (t) , (10.3)
où a 0 est l’accélération de l’origine de S a par rapport à S i . Par exemple, si un objet est au repos
dans S a (v a = 0, a a = 0), alors son accélération par rapport à S i est a i = a 0 . Si, au contraire, il
est au repos par rapport à S i (v i = 0, a i = 0), alors son accélération telle que mesurée dans S a est
a a = −a 0 .
Comme indiqué à la section 3, la première loi de Newton n’est valable que dans un référentiel
inertiel. La deuxième aussi d’ailleurs, car les lois de forces ne dépendent que des positions et
vitesses relatives des particules, ce qui fait que la force agissant sur une particule et causée par un
autre objet est la même, quel que soit le référentiel utilisé. On doit donc écrire
F = ma i = m(a a + a 0 ) (10.4)
Cependant, dans le but de conserver à la loi de Newton sa validité apparente dans le référentiel
S a , on définit une force d’inertie (ou force fictive, ou pseudo-force)
et on écrit la deuxième loi sous la forme
F 0 = −ma 0 (10.5)
F réel + F 0 = F app. = ma a (10.6)
Nous avons affublé la force F de l’indice ‘réel’ pour insister sur le fait qu’il s’agit de la force associée
aux interactions avec d’autres objets, celle qui apparait dans un référentiel inertiel. La force apparente
F app. est la force réelle, plus la force d’inertie, telle que ressentie dans un référentiel accéléré.
La force d’inertie s’ajoute donc aux autres forces dans la loi de Newton. Notons cependant que
cette force n’est pas associée à la proximité des autres objets (elle ne résulte pas d’une interaction)
mais est simplement un artifice du référentiel accéléré choisi.