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5. Applications des lois du mouvement 67 La solution v(t) = v ∞ n’est valable que pour des conditions initiales très particulières : il faut que v(0) = v ∞ . Supposons justement que v(0) ≠ v ∞ . Le problème est maintenant de démontrer que v(t) → v ∞ quand t → ∞, où v ∞ est l’expression trouvée en (a). Dans ce but, utilisons l’astuce suivant : définissons le vecteur u = v−v ∞ . Le vecteur u est a vitesse de la particule telle qu’observée à partir d’un référentiel se déplaçant à une vitesse V = v ∞ par rapport au référentiel d’origine. b) Démontrez que le vecteur u satisfait à l’équation suivante : m du dt = −γu + qu ∧ B c) Démontrez que la grandeur de u diminue exponentiellement avec le temps. Pour ce faire, prenez le produit scalaire de u avec l’équation ci-haut et tirez-en les conséquences nécessaires (une équation différentielle pour u 2 , par exemple). Enfin, concluez la preuve recherchée que v(t) → v ∞ quand t → ∞. Problème 5.11 Dans les années 1910, le physicien américain Millikan démontra directement la quantification de la charge électrique en étudiant le mouvement de fines gouttelettes d’huile se déplaçant entre les plaques d’un condensateur, à l’aide d’un microscope. Les gouttelettes sont soumises à la force de gravité, au champ électrique qui règne entre les plaques et à la force de viscosité de l’air. Le but de l’expérience est de mesurer la charge électrique de chaque gouttelette. Le condensateur est orienté de sorte que le champ électrique est parallèle à la force de gravité. Le mouvement à étudier est donc purement unidimensionnel. a) Premièrement, on débranche le condensateur de sorte que le champ électrique est nul. Les gouttelettes ne sont alors soumises qu’à la force de gravité et à la viscosité. On trouve que la vitesse limite d’une gouttelette est v ∞ = 0, 040 cm/s. Quel est alors le rayon R de la gouttelette? La densité de l’huile utilisée est ρ h = 800 kg/m 3 . La viscosité de l’air à 20 ◦ se trouve dans le tableau 4.1 des notes. La gouttelette est supposée parfaitement sphérique et l’accélération gravitationnelle est g = 9, 8 m/s 2 . b) On applique maintenant une différence de potentiel de 200 V aux bornes du condensateur, dont les plaques sont séparées de 1 cm. La polarité est telle que la force électrique sur la gouttelette est dans le même sens que la gravité, et la nouvelle vitesse limite est de v ′ ∞ = 0, 058 cm/s. Estimez la charge électrique q de la gouttelette à partir de ces données. c) En supposant que la gouttelette part du repos, combien de temps prend-elle pour atteindre 99% de sa vitesse limite? Vous n’avez pas besoin de refaire ici la démonstration faite en classe sur la vitesse de la gouttelette en fonction du temps. d) On a négligé la poussée d’Archimède dans ce problème. En supposant que nos mesures ne sont précises qu’à 1% près, est-ce justifié? La densité de l’air est ρ a = 1, 29 kg/m 3 . Problème 5.12 Dans un écran d’ordinateur ou de télévision, la déflection du faisceau d’électrons est effectuée à l’aide de champs magnétiques : deux bobines croisées dévient les électrons horizontalement et verticalement, respectivement. Pour illustrer comment la déviation dépend du champ appliqué et de la vitesse des électrons, considérons le schéma suivant : Le champ sort de la page et n’est non nul qu’à l’intérieur de la bobine circulaire de rayon R indiquée. Les électrons de vitesse v entrent au point E et sortent au point S. On place l’origine du système cartésien au point E. À l’intérieur de la bobine, les électrons suivent une trajectoire circulaire dont le rayon r est plus grand que R.
68 5. Applications des lois du mouvement y S θ E B R x Problème 5.12 a) Montrez que l’angle de déflection θ est donné par la relation suivante : tan θ 2 = R r Indice : soit (x, y) les coordonnées du point S. Ce point est situé à la fois sur le cercle de la bobine et sur un autre cercle (en pointillé sur la figure), de rayon r. Les coordonnées x et y doivent donc satisfaire les équations de ces deux cercles et on peut, par élimination, les exprimer en fonction de R et de r. Vous pouvez premièrement déterminer sin θ, et ensuite utiliser des formules de trigonométrie pour exprimer le résultat en fonction de tan(θ/2). Prenez soin de bien expliquer chacune des étapes de votre calcul. b) Que vaut r en fonction de l’intensité B du champ magnétique et de la vitesse v des électrons? Si R = 1 cm et v = 10 7 m/s, quelle valeur maximale de B (en tesla) est nécessaire, en supposant que l’angle θ ne doit jamais dépasser 30 ◦ ?
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David Sénéchal MÉCANIQUE I ω B
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