Document de cours de référence

20 2. Mouvement d’un point
On peut donc écrire
v = ˙ρ ˆρ + ρ ˙ϕ ˆϕ (2.28)
On calcule de même que
d ˆϕ
dt = d (−ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ)
dt
= −(ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ) ˙ϕ
= − ˙ϕ ˆρ
Ceci permet d’exprimer l’accélération dans le repère cylindrique :
a = d ( ˙ρ ˆρ + ρ ˙ϕ ˆϕ)
dt
= ¨ρ ˆρ + ˙ρ d ˆρ
ˆϕ
+ ˙ρ ˙ϕ ˆϕ + ρ ¨ϕ ˆϕ + ρ ˙ϕd
dt dt
= [¨ρ − ρ ˙ϕ 2] ˆρ + [ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ] ˆϕ
(2.29)
(2.30)
Cette accélération se décompose donc en composantes radiale (∝ ˆρ) et azimutale (∝ ˆϕ). Attardonsnous
sur chacun des quatre termes de cette expression :
1. ¨ρ ˆρ est l’accélération radiale provenant du changement dans le temps de la vitesse radiale.
2. −ρ ˙ϕ 2 ˆρ est l’accélération centripète. Dans le cas d’une particule en mouvement circulaire uniforme,
la coordonnée ρ est constante et la coordonnée ϕ augmente linéairement avec le temps
ϕ(t) = ωt. Donc ˙ρ = 0 et ˙ϕ = ω et on retrouve la relation a = −ρω 2 ˆρ pour l’accélération
centripète.
3. ρ ¨ϕ ˆϕ est la contribution à l’accélération provenant de la variation dans le temps de la vitesse
angulaire.
4. 2 ˙ρ ˙ϕ ˆϕ est l’accélération de Coriolis, attribuable à la variation de ρ lorsque la vitesse angulaire
˙ϕ est non nulle. Nous y reviendrons plus loin en discutant des forces d’inertie.
2.5 Référentiels
Nous avons jusqu’ici considéré des repères fixes, dont les vecteurs de base ne changent pas avec
le temps. Or, deux repères peuvent être en mouvement relatif, soit parce que leurs origines se
déplacent l’une par rapport à l’autre, soit parce que l’orientation relative des deux repères change
avec le temps. Notons que nous ne pouvons décrire que le mouvement relatif de deux repères et
non le mouvement absolu d’un repère, notion qui n’a pas de sens.
Bien entendu, on peut fort bien utiliser une variété de repères différents qui ne sont pas en mouvement
les uns par rapport aux autres. Par exemple, il peut s’agir de deux repères cartésiens
qui diffèrent seulement par le choix de l’origine, ou par l’orientation des axes (pour les fins de
la présente discussion, il est suffisant de se limiter aux repères cartésiens). On dira que ces deux
repères appartiennent au même référentiel, puisqu’ils ne sont pas en mouvement relatif. Au contraire,
deux repères cartésiens qui se déplacent à une vitesse constante l’un par rapport à l’autre
n’appartiennent pas au même référentiel. Notez qu’une quantité comme la vitesse v d’une particule
ne dépend pas du repère utilisé (c.-à-d. de son origine ou de son orientation) pourvu que l’on
demeure dans le même référentiel. En contrepartie, la vitesse d’une particule dépend du référentiel
d’observation.
Considérons le cas d’un repère cartésien R ′ qui coïncide avec un autre repère R (même origine
et mêmes axes) au temps t = 0, mais dont l’origine O ′ se déplace à une vitesse constante V par