Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 55
L’intégrale du membre de droite ne peut s’exprimer par des fonctions élémentaires. Par contre, elle
s’exprime par une fonction spéciale appelée intégrale elliptique complète du premier type et notée
K(m) :
T
T 0
= 2 π K(sin2 (ϕ 0 /2)) (5.30)
où la fonction K(m) est habituellement défini par la relation
K(m) =
∫ π/2
0
dz
√
1 − m sin 2 z
(5.31)
On montre que la période admet le développement en série suivant en fonction de l’amplitude ϕ 0 :
{
T = T 0 1 + 1
16 ϕ2 0 + 11
3072 ϕ4 0 + 173
737280 ϕ6 0 + 22931
·}
1321205760 ϕ8 0 + · · (5.32)
Le premier terme de cette série correspond bien sûr au cas du pendule harmonique décrit plus
haut. Les termes supérieurs nous permettent de calculer les corrections à apporter à la période
quand l’amplitude n’est plus petite. .
Démontrons, pour compléter l’argument, comment on passe de l’éq. (5.29) à l’éq. (5.30). Comme cos x =
1 − 2 sin 2 (x/2), l’intégrale peut se récrire ainsi :
T
T 0
= 1 π
∫ ϕ0
0
du
√
sin 2 (ϕ 0 /2) − sin 2 (u/2)
(5.33)
On procède ensuite au changement de variable suivant :
sin z =
sin u/2
sin ϕ 0 /2
du = 2 sin(ϕ 0/2)
cos(u/2)
cos zdz =
u = 0 correspond à z = 0 et u = ϕ 0 à z = π/2. Donc
√
2 sin(ϕ 0 /2)
cos zdz
1 − sin 2 (ϕ 0 /2) sin 2 z
(5.34)
T
= 1 ∫ π/2
T 0 π 0
1
√
sin 2 (ϕ 0 /2)[1 − sin 2 z]
2 sin(ϕ 0 /2)
√
1 − sin 2 (ϕ 0 /2) sin 2 z
cos z dz (5.35)
ce qui ce simplifie en
ce qui démontre l’éq. (5.30).
T
= 2 ∫ π/2
dz
√
T 0 π 0 1 − m sin 2 z
(5.36)
Le pendule isochrone d’Huygens
À première vue, le fait que la période d’un pendule simple dépende de son amplitude rend peu pratique
l’utilisation d’un pendule comme base d’une horloge de précision, car le mouvement d’un pendule peut être
atténué par le frottement et la période précise se trouve alors à diminuer. Le grand physicien Christian
Huygens (1629/1695) tenta de remédier à cette situation. Dans son Horlogium oscillatorium (1673), il décrit
un mécanisme visant à rendre la période du pendule indépendante de son amplitude. Le pendule est alors
isochrone. L’idée de base est simple : la corde du pendule s’enroule partiellement autour d’une plaquette
de métal en forme de ‘Λ’ courbé. Cet enroulement partiel diminue la longueur effective du pendule quand
l’angle ϕ augmente et par conséquent tend à faire diminuer la période. Cet effet compense l’augmentation