Der Übergang in den Ruhestand - Wege, Einflussfaktoren und

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Der Übergang in den Ruhestand Anhänge tigerweise pi = 1. Die Kaplan-Meier-Schätzung der Überlebensfunktion S(t) ergibt sich dann als Produkt der Faktoren pi: - S(t) = Produkt der pi (kumulierte Überlebenswahrscheinlichkeit), wobei ti
Anhänge Der Übergang in den Ruhestand Mathematisch ist die Ausfallrate die Ableitung der negativ logarithmierten Überlebensfunktion -log(S[t]) (in t): (-log[St])’ = -S’(t)/S(t) = h(t). Umgekehrt lässt sich aus der Ausfallrate h(t) die Überlebensfunktion S(t) bestimmen. Der proportionale Zusammenhang der Ausfallrate-Funktionen (proportional hazard) lautet im obigen Beispiel für alle t: hB(t) = hA(t)*c anstelle der Bezeichnung der Überlebensfunktionen SB(t) und SA(t). Wie erwähnt, hängt c meistens von verschiedenen Einflussvariablen ab, beim Altersrücktritt könnte dies zum Beispiel das Geschlecht, der Gesundheitszustand oder die Einkommenslage sein. Der Zusammenhang zwischen diesen Einflussvariablen und c soll so einfach als möglich erklärt werden, zum Beispiel durch eine lineare Beziehung, wie bei einer einfachen oder multiplen Regression. Da c nur positiv sein kann, ist es nicht sinnvoll, c selber in einer linearen Beziehung zu beschreiben; besser versucht man dies mit log(c), in unserem Beispiel log(c) = a+bx. Nun kann der Risikofaktor c von mehreren Einflussvariablen x1, x2, ..., abhängen. Also wird versucht, log(c) durch eine lineare Beziehung zu allen Einflussvariablen xi zu beschreiben: log(c) = a+b1x1+b2x2+ ... +bpxp Das bekannteste Verfahren zur Untersuchung, wie bestimmte Variablen (unabhängige Variablen, Kovariaten) die „Überlebenswahrscheinlichkeit“ beeinflussen ist die von D.R. Cox konzipierte Cox-Regression. Es handelt sich dabei um eine der multivariaten Regressions- Analyse beziehungsweise der logistischen Regression verwandte Methode, die auch den Einbezug von zensierten Fällen gestattet. Die Modellbeschreibungen sind recht komplex, besonders wenn Einflussgrössen von verschiedener Struktur (nominal, ordinal, intervall) gegeben sind. Die kumulierte Überlebenswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t berechnet sich nach dem Ansatz der Cox-Regression unter dem Einfluss der unabhängigen Variablen x1 bis xn zu S(t) = S0(t) p Dabei ist S0(t) die so genannte basale Überlebenswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t; der Exponent p bestimmt sich zu bx 1 1+ b2x2 + ... + bnxn p= e Die Schätzung der Koeffizienten b1 bis bn ist die Aufgabe der Cox-Regressions-Analyse. Wären alle Koeffizienten null, hätte p den Wert 1, und die basale Überlebenswahrschein- 224 Beispiel: Wenn von 1’000 Personen im Alter von 60 Jahren nach 3 Jahren (d.h. im Alter von 63 Jahren) noch 800 den Altersrücktritt nicht vollzogen haben (= Risikomenge), so könnte man als Schätzwert von S(63) den Wert 0.8 angeben (S(63) = Überlebensfunktion für den Zeitpunkt t 63 Jahre). Wenn weiterhin im nächsten Jahr, also im Zeitintervall [t = 63, t+Delta t = 64] 200 Personen in den Altersrücktritt gehen, so beträgt die absolute Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, also eines Altersrücktritts, für dieses Intervall (63 Jahre, 64 Jahre) etwa 200/1000 = 0.2. Dies wäre eine grobe Schätzung von f(63), dessen Wert ja auf einen Zeitpunkt und nicht auf ein Intervall bezogen ist (f[63] = Dichte der kumulierten Verteilung der Ankunftszeiten zum Zeitpunkt t [63]). Als Schätzung der Übergangswahrscheinlichkeit q(63, 64) und damit wegen Delta t = 1 ungefähre Schätzung der Übergangsrate r(63) erhielte man als Resultat 200/800 = 0.25 (unter Benützung der abgeleiteten Formel r[t]=f[t]/S[t]=f[63]/S[63]=0.2/0.8 ergibt sich dasselbe Ergebnis).
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