Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

aber: Messungen geben keinen Zugriff auf A oder |ψ〉, sondern nur auf
ihre Kombination in Erwartungswerten (Matrixelementen) – Messergebnissesindeinfach
Zahlenwerte.
❀ einealternative Sichtweiselegtsich nahe.
i − AS(t) = e ¯h Ht
i − ψ(0) ASe
¯h Ht
ψ(0) = ψ(0)
e i
¯h Ht i −
ASe ¯h Ht
ψ(0)
≡ 〈ψ(0)|AH(t)|ψ(0)〉 ≡ AH(t) (56)
Heisenbergbild: Der Zustandsvektor wird als zeitlich fest angesehen, er
ändert sich nur durch Messungen. Die Dynamik wird
durchdieZeitabhängigkeitdesOperatorsAH(t)beschrieben.
AH(t) = e ī h Ht AH(0)e − ī h Ht = e ī h Ht ASe − ī h Ht
Differenzieren nach derZeitliefert(Produktregel!):
˙AH(t) = i
¯h He ī hHt AH(0)e − ī hHt −e ī hHt AH(0)e − ī hHt i
¯h H
= i
¯h (HAH(t)− AH(t)H) = i
¯h [H,AH(t)]
(57)
LassenwirjetztdendasHeisenbergbildkennzeichnendenIndexHweg,so
erhaltenwir
˙A(t) = i
[H,A(t)] (58)
¯h
Heisenbergsche Bewegungsgleichung 24
Falls AS = AS(t), d.h. falls ein Operator schon im Schrödingerbild zeitabhängigist[daskommt(selten)vor,wiewir
sehenwerden]verallgemeinert
sich dieheisenbergscheBewegungsgleichungzu
˙AH = i
∂AH(t)
[H,AH(t)]+ ,
¯h ∂t
wobeimitderpartiellenAbleitungderAusdrucke ī h
ist. 25
Ht ∂AS(t)
e
∂t
− ī hHt gemeint
24DieheisenbergscheBewegungsgleichungistinihrerBedeutungdurchausderSchrödinger gleichungvergleichbar.
25Man kann eine Analogie zwischen Schrödinger- und Heisenbergbild und eulerscher bzw.
lagrangescher Formulierung der Strömungsmechanik feststellen. In der eulerschen Formulierung
betrachtet man zeitliche Änderungen an einem festen Ort, zeitliche Ableitungen
entsprechen partiellen Ableitungen bei fester Ortskoordinate. Dies ist analog zur
schrödingerschen Formulierung der Wellenmechanik. In der lagrangeschen Formulierung
” schwimmt“ derAufpunkt miteinem Flüssigkeitspaketmit, man arbeitetmit dersubstantiellenAbleitungdρ/dt
= ∂ρ/∂t+v∇ρ.DiesistanalogzurheisenbergschenFormulierung
– der zweite Term entspricht dem Kommutatorausdruck. Noch deutlicher wird dies beim
ÜbergangzurklassischenMechanik.
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