Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

= 〈ψ|(A− Ā)(B− ¯B)−(B− ¯B)(A− Ā)
AB−✟✟ĀB−❩A¯B+✟✟❍❍ Ā¯B−(BA−❍❍¯BA−✟✟BĀ+✟✟❍❍¯BĀ)
|ψ〉 = 〈ψ| AB−BA|ψ〉
= 〈ψ|[A,B]|ψ〉 = [A,B] (29)
also:mit (27) und(28)
Beispiele:
∆A ∆B ≥ 1
[A,B] (30)
2
verallgemeinerteUnbestimmtheitsrelation
∆A, ∆B:Streuung,Standardabweichung,WurzelausVarianz
i) A = ˆp, B = x ∆p ∆x ≥ 1
[ˆp,x] =
2
1
¯h
¯h
2 i
=
2
Hier ist die rechte Seite vom Zustand unabhängig, an dem die Messungenvorgenommenwerden!
ii) A = Ekin = ˆp2
, B = V(x) Potential
2m
Ortsdarstellung: [A,B] = − ¯h2
∂2 2m ∂x2,V(x)
∂ 2
∂x 2,V(x)
= ∂2
∂x
= ∂
∂x
2V(x)−V(x) ∂2
∂x 2
V ′ (x)+V(x) ∂
∂x
−V(x) ∂2
∂x 2
= V ′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x + ✟ ✟✟✟✟
V(x) ∂2
∂x2 − ✟ ✟✟✟✟
V(x) ∂2
∂x2 [A,B] = − ¯h2
V
2m
′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x
∆E kin ∆Epot ≥ ¯h2
2m
∞
−∞
dx ψ ∗
(x) V ′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x
ψ(x)
Warum haben wir für die Abschätzung nach unten den Imaginärteil und
nicht denRealteilgenommen?
ImRealteilhaben wir stattdesMinuszeichensvon (28) ein Pluszeichen
❀ Mittelwerte Ā, ¯B fallen aus dem Ausdruck nicht heraus; ein von den
Mittelwertenunabhängiges Ergebnis für die Streuungenist aber sicher
physikalisch fundamentalerals eines,dasdavon abhängt.
WannhabenwirGleichheitin(30)?WennsowohlinderSchwarzschenUngleichungals
auch in derAbschätzung durchdenImaginärteil dasGleichheitszeichensteht.
Also:
89