Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

1geradeLösungfür k0a≤ π
2
1geradeund1ungeradeLösungfür π
2 < k0a≤ π
2geradeund1ungeradeLösungfür π< k0a≤ 3
2 π
2geradeund2ungeradeLösungenfür 3
2 π< k0a≤ 2π
geradeundungeradeLösungenwechselnsich ab
n+1 geradeund n ungeradeLösungenfür
π n = 0,1,2,...
nπ < k0a ≤ n+ 1
2
n+1 geradeund n+1ungeradeLösungenfür
π < k0a ≤ (n+1)π n = 0,1,2,...
n+ 1
2
6.2.1 Grenzübergangzu ∞ hohemPotential
neueEnergienormierung(VerschiebungdesEnergienullpunktes)
V ′ = V(x)+U
E ′ = E+U
E ′ = ¯h2
2m k2
U = ¯h2
2m k2
0
DietranszendentenGleichungen(18)und(19)fürdiemöglichenWertevon
ka werdenanalytisch lösbar
katanka =
(k0a) 2 −(ka) 2 ∼ k0a k0a → ∞
ka = π 3π
, ,...
2 2
2n+1
= π,
2
n = 0,1,2,...
kacotka = − (k0a) 2 −(ka) 2 ∼ −k0a k0a → ∞
ka = π,2π,... = nπ n = 1,2,3,...
Fernerwird für |x| > a dieWellenfunktionNull:
ϕ(x) = Ce κ(a−x) ∼ Ce k0(a−x) = Ce k0a(1− x a ) −→
k0a→∞ 0
Die ersteAbleitungvon ϕ istbei x = ±a nicht mehrstetig.
Man kann die Schrödingergleichung für den unendlich hohen Potentialkasten
auch direkt lösen, indem man die Wellenfunktion nur im Innern
betrachtetunddieRandbedingungen ϕ(a) = ϕ(−a) = 0fordert.
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