Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

a) |u〉 = c·|v〉
(A− Ā)|ψ〉 = c(B− ¯B)|ψ〉 (31)
b) α = 1
2 (〈u|v〉+〈v|u〉) = 0
2Möglichkeiten:
0 = 〈cv|v〉+〈v|cv〉 = (c ∗ +c)〈v|v〉 (32)
i) 〈v|v〉 = 0 ⇒ 〈u|u〉 = 0
(A− Ā)|ψ〉 = (B− ¯B)|ψ〉 = 0
|ψ〉 istEigenzustandzu beidenOperatoren A und B
für allgemeineOperatorennicht zu erreichen
⇒ [A,B] = 0 (nachrechnen: trivial)
ii) c ∗ +c = 0 ⇒ c rein imaginär: c = −iγ
(31)
(A+iγB)|ψ〉 = (Ā+iγ¯B)|ψ〉 (33)
Gleichung für Zuständeminimaler Unschärfe [(= 0)]
|ψ〉 ist Eigenzustand zu einer speziellen Linearkombination von A
und B
Beispiel: A = x, B = ˆp, Ortsdarstellung
x+ iγ ¯h
∂
ψ(x) = (¯x+iγ¯p)ψ(x)
i ∂x
γ¯h
ψ ′ + x ¯x i¯p
ψ = ψ+
γ¯h γ¯h ¯h ψ
ψ ′
ψ
= ¯x−x
γ¯h
+ i¯p
¯h
(x− ¯x)2 i
⇒ ln ψ(x) = − +
2γ¯h ¯h ¯px+lnc
ψ(x) = ce i
¯h ¯px e −(x−¯x)2 /2γ¯h
ein GausschesWellenpaket!
c =
1/4 1
πγ¯h
γ gibtan, wie sich dieUnschärfeauf x und p verteilt
γ¯h ¯h
∆x = , ∆p =
2 2γ ,
ψ ∗ (x)ψ(x) ∝ e −(x−¯x)2
γ¯h ⇒ γ¯h = 2σ 2
∆x·∆p = ¯h
2
90
(34)