Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Dann ist
+sin ϑsin ϕ −isin ϑ ϕ
e−i 2 |z−〉−icos
2 ϑ
2
+cos ϑ −sin ϑ ϕ
e−i 2 |z+〉−cos
2 ϑ
2
ϕ
−i = e 2 sin ϑ
|z+〉−ei ϕ
2 cos ϑ
2 |z−〉
2
= −|ϑ, ϕ,−〉 q.e.d.
ei ϕ
2 |z−〉
1
ψϑ,ϕ ≡ √2 |ϑ, ϕ,+〉 1 |ϑ, ϕ,−〉 2−|ϑ, ϕ,−〉 1 |ϑ, ϕ,+〉 2
= 1
√ cos
2
ϑ
2
× −sin ϑ
2
− −sin ϑ
ϕ
e−i 2 |z+〉 1 +sin ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 1
ϕ
e−i 2 |z+〉 2 +cos ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 2 2
ϕ
e−i 2 |z+〉 1 +cos ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 1
2
× cos ϑ
2
= 1
√ −cos
2
ϑ
2
ϕ
e−i 2 |z+〉 2 +sin ϑ ϕ
ei 2 |z−〉 2
2
2
ϕ
ei 2 |z+〉
2
ϑ
sin
2 e−iϕ +sin ϑ ϑ
cos
2 2 e−iϕ
|z+〉 1 |z+〉 2
0
2 ϑ ϑ
+ cos +sin2 |z+〉 1 |z−〉 2
2 2
2 ϑ ϑ
+ −sin −cos2 |z−〉 1 |z+〉 2
2 2
+ sin ϑ ϑ
cos
2 2 eiϕ −cos ϑ ϑ
sin
2 2 eiϕ
|z−〉 1 |z−〉 2
0
= |ψz〉
= 1
√ |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
2
= 1
√ |↑〉 1 |↓〉 2 −|↓〉 1 |↑〉 2 = |ψ〉, (5)
2
wobei|↑〉 und|↓〉 irgendeineRichtungkennzeichnen.
Messen wir nun den Spin von Teilchen 1 in eine beliebige Richtung a, so
erhalten wir, wenn |↑〉 1 nun den Zustand mit Spin in diese Richtung bezeichnet,
|↓〉 2 den mit Spin in Richtung −a, für den Eigenwert von σ · a
den Wert +1 mit Wahrscheinlichkeit
falls mit Wahrscheinlichkeit 1
2 .
201
2 1√2
= 1
2
bzw. den Wert −1 eben