Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

ZweiteOrdnung: Falls ein wichtiges (großes Matrixelement oder kleiner
Abstand) Niveau E (0)
m oberhalb von E (0)
n liegt, so wird
E (0)
n nach unten und E (0)
m nach oben gedrückt – die Niveaus
stoßen sich ab. Für die erste störungstheoretische
Ordnunghaben wir keineanaloge Aussage.
Beispiel:AnharmonischerOszillator
V(x) = mω2
2
x 2 + αx 3 + βx 4
(schwache Anharmonizität α¯x ≪ mω 2 , βx 2 ≪ mω 2 ,oft: βx 2 ≪ α¯x)
vonNullverschiedeneMatrixelementevon x3 :
3
x
n−3,n = x 3
n,n−3 =
3
¯h 2 n(n−1)(n−2)
mω 8
3
x
n−1,n = x 3
n,n−1 =
3
¯h 2 9n3 mω 8
Diagonalelemente x3 = 0 in erster Ordnung keine Energiever-
n,n
schiebung
E (2)
n = − 15
4
α 2
¯hω
¯h
3
n
mω
2 +n+ 11
30
daderTerm βx 4 beischwacherAnharmonizitäti.A.kleineristals αx 3 ,istes
sinvoll, hiernur dieEnergiekorrekturersterOrdnungzu berücksichtigen
also
x 4
n,n =
2 ¯h 3 2
2n +2n+1
mω 4
˜E (1)
n = 3
2 β
¯h
2
n
mω
2 +n+ 1
2
En = ¯hω
n+ 1
2
− 15
4
+ 3
2 β
α2
¯h
¯hω mω
¯h
mω
3
n 2 +n+ 11
2
n 2 +n+ 1
2
30
die beiden letzten Terme sind bei schwacher Anharmonizität in der Regel
vonderselbenGrößenordnung.
OffensichtlichkanndieStörungstheoriebeigegebenenWertenvon αund β
nichtfüralle ngutsein,siewirdfürgroßenschlechter(dadieKorrekturen
derEnergieschnellerwachsenalsdieseselbstundhöhereOrdnungennoch
größerePotenzenvon n produzieren).
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