Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

11 BewegungimelektromagnetischenFeld
11.1 Hamiltonoperator
Elektrodynamik:
E = −∇Φ− ∂A
∂t
B = ∇× A
❀ Hamiltonfunktion: (Ladung e; beim Elektrongilt e = −|e|)
H = 1 2+eΦ(x,t) p−eA(x,t) (1)
2m
❀ HamiltonoperatorundSchrödingergleichung
i¯h ∂ψ
∂t =
1 ¯h
2m i ∇−eA
2
+eΦ ψ (2)
Durch Ausmultiplizieren derKlammer erhält man als gemischteTerme
− ¯he ¯he ¯he
∇· A+ A·∇ ψ = − A·∇ψ− ∇· A ψ
2im
im 2im
Coulombeichung: ∇· A = 0
i¯h ˙ψ
p2 =
2m
e 1 2+eΦ − Ap+ eA ψ (3)
m 2m
Wahrscheinlichkeitsstrom:multipliziere (3) mit ψ ∗ , die konjugiertkomplexeGleichung
mit −ψ,addiere
mit
∂ ψ ∗ ψ
∂t
11.2 KonstantesMagnetfeld
Man kann schreiben
denn
+∇S = 0
S = ¯h
ψ
2mi
∗ ∇ψ−ψ∇ψ ∗
− e
m A ψ∗ψ A = − 1
(x×B), (5)
2
(∇× A) i = ǫ ijk∂j
− 1
2
ǫ klm x lBm =
Bmkonstant
im Raum
182
− 1
2 ǫijk ǫklm(∂jx l)
δ jl
Bm
(4)