Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

in (20):
e −if
− ¯h2
2m
∇ 2 ψ ′ −i(∇ 2 f)ψ ′ −2(i∇f)∇ψ ′ −(∇f) 2 ψ ′
−(∇A ′ )+∇ 2
Λ
(−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
+ ¯he
ψ
2mi
′ +(−A ′ +∇Λ) ¯he
mi
+ 1 ′ 2 ′ ′ ′ ∂Λ
−eA +(e∇Λ) ψ +eΦ ψ +e
2m
∂t ψ′
= i¯he −if
−i ∂f
∂t ψ′ + ∂ψ′
∂t
Die unterstrichenenTermeenthalten (nach Entfernendesallen Termengemeinsamen
von null verschiedenen Vorfaktors e −if ) weder f noch Λ und
lassensichzusammenfassen;wosiemitanderenAusdrückenineinerKlammer
stehen ist erst die Klammer auszumultiplizieren, um sie von Ausdrückenmit
f bzw. Λzu trennen.
1 ¯h
2m i ∇−eA′
2 +eΦ ′
ψ ′ (xt)−i¯h ∂ψ′ (xt)
∂t
+ ¯h2
i(∇
2m
2 f) +2(i∇f) ∇+(∇f)
− ∼
2
ψ
≈
′ + ¯he
2mi (∇2Λ) ψ
−
′
+ ¯h
e(∇Λ)∇ψ
mi ∼ ′ +(−eA ′
= +e∇Λ
≈ )(−i∇f)ψ′
+ 1
m (−eA′
= )e∇Λ ψ′ + 1
2m (e∇Λ)2ψ
≈
′ + e ∂Λ
∂t ψ′ − ¯h ∂f
∂t ψ′ = 0
1 ¯h
2m i ∇−eA′
2 +eΦ ′
ψ ′ (xt)−i¯h ∂ψ′ (xt)
∂t
i¯h(∇ 2 f)−ie(∇ 2 Λ)+2i¯h(∇f)∇−2ie(∇Λ)∇
+ ¯h
2m
+ 2
¯h eA′ (¯h∇f −e∇Λ)+ 1
(¯h∇f −e∇Λ)2 ψ
¯h ′
− ¯h ∂f
∂t
(21)
∂Λ
−e ψ
∂t
′ = 0 (22)
Offensichtlich verschwinden alle Zeilen der linken Seite nach der ersten
unterderBedingung
¯h ∂f
∂t
−e ∂Λ
∂t
= 0 und ¯h∇f −e∇Λ = 0.
Die erste Teilbedingung impliziert f(x,t) = e
¯h Λ(xt) + g(x), die zweite
g(x) = const.
Alsolöst
ψ ′ (xt) = e i
¯h e Λ(xt) ψ(x,t)
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