Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Wahrscheinlichkeitsdichte:
w(x) = ϕ ∗ (x)ϕ(x) (53)
Wahrscheinlichkeitsstrom:
S = 1 ∗ ∗
ψ (x,t)ˆpψ(x,t)+[ˆpψ(x,t)] ψ(x,t)
2m
= ¯h
2mi
S = ¯h
2mi
e i
¯h Et ϕ ∗ i −
(x)∇ϕ(x)e ¯h Et −e i
¯h Et
∇ϕ ∗
i −
(x) ϕ(x)e ¯h Et
ϕ ∗
(x)∇ϕ(x)− ∇ϕ ∗
(x) ϕ(x)
Die Überlagerung zweier stationärer Lösungen mit verschiedenen Energien
ist zwar eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung (wegen derenLinearität),
aber sieistselbernicht stationär.
DiezeitunabhängigeSchrödingergleichungisteinesogenannteEigenwertgleichung.Das
heißt,dass die AnwendungdesHamiltonoperatorsauf die
Funktion ϕ(x)wiederdieselbeFunktionbisaufeinenProportionalitätsfaktorEliefert.Für
ϕ(x) ≡ 0gehtdasimmer,wasabereinuninteressanterFall
ist (ϕ = 0 kann keine quantenmechanische Wellenfunktion sein, weil es
nicht zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit 1 führt – ϕ = 0 ist nicht normierbar).
Deshalbschließtman dieseLösungaus. 6 Dann hatdieGleichung i.A.
LösungennurnochfürbestimmteWerteE,dieEigenwerte,undFunktionen
ϕ,die Eigenfunktionen oderEigenzustände(Eigenvektoren).
ZeitunabhängigeSchrödingergleichung–Eigenwertgleichung
ϕ ≡ 0
Lösungen:Eigenwerte–Eigenfunktionen
MengederEigenwerte:Spektrum
DasSpektrumkannendlichoderunendlichsein;unendlicheSpektrenkönnendiskret,kontinuierlichoderteilsdiskret,teils
kontinuierlichsein. 7
E Energie → Energieeigenwerte
Eigenfunktionen sind nur bis auf einen Vorfaktor (= 0!) festgelegt, d.h.
zwei Eigenfunktionen gelten als nicht wesentlich verschieden, wenn sie
sich nurum einenFaktorunterscheiden.
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Entartung–ExistenzmehrererlinearunabhängigerEigenfunktionenzueinemEigenwert.
6 Dasgiltallgemeinbei Eigenwertgleichungen.
7 Es gibt genauere Definitionen von Spektrum als die hier eingeführte. Tatsächlich können
dieEigenwerteeinesOperatorseineechte Untermenge seinesSpektrumssein.
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