Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

ii) m > 0 (40a) ⇒
mit l ≥ 0
l ≥ m
(40b) ⇒ l ≥ m−1 [schwächere Ungleichung]
iii) m < 0 (40b) ⇒ l ≥ −m
(40)
(40a) ⇒ l ≥ −m−1 [istin l ≥ −m enthalten]
L + |l,l〉 = 0
(42a)
L − |l,−l〉 = 0 (42b)
Also: L + |l,m〉 istfür m = l derNullvektor,sonstnicht, wegen(40a)
L − |l,m〉 istfür m = −l derNullvektor,sonstnicht, wegen(40b)
Für m < l ist L + |l,m〉 ein (nichtnormierter) Eigenvektor zu Lz. Das folgt
aus(37):
LzL + |l,m〉 = L + Lz|l,m〉+¯hL + |l,m〉 = ¯h(m+1)L + |l,m〉 (43a)
DerEigenwertist ¯h(m+1).
Für m > −l ist L − |l,m〉 Eigenvektorzu Lz mit Eigenwert ¯h(m−1):
LzL − |l,m〉 = L − Lz|l,m〉−¯hL − |l,m〉 = ¯h(m−1)L − |l,m〉 (43b)
DieseVektorensindwegen(40) nichttrivial.
NormierteForm
|l,m+1〉 ≡
|l,m−1〉 ≡
1
¯h
(44a)
(l−m)(l+m+1) L+ |l,m〉
1
¯h (l+m)(l−m+1) L− |l,m〉 (44b)
NungehenwirnachdergleichenIdeevorwiebeimharmonischenOszillator.Durch
sukzessiveAnwendungvon L + erzeugenwirEigenvektorenzu
immer höherenEigenwerten
L + |l,m〉, L +2 |l,m〉, ... (L + ) p |l,m〉
E.W.von Lz/¯h: m+1, m+2, m+ p
p istsowählbar, dass l−1 < m+ p ≤ l
Fallunterscheidung
I) l−1 < m+ p < l
L + |l,m+ p〉 istnach(40a) nichtderNullvektor;nach(43a)istes
aber Eigenvektorzu Lz/¯h mit Eigenwertm+ p+1 > l
«zu (41) !
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