Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

iii) V(x → ±∞) = V±∞
a) E < Vmin keineLösung
b) Vmin < E < V∞ diskretesSpektrumwie im Fall i)
gebundeneZustände
Die ZahlderEigenwertehängt wesentlichvonderStrukturdesPo-
tentialsab.SiekannNull,endlichoderunendlichsein.IstV−∞ = V∞
und existiertein globales Minimum (Vmin < V∞), so gibt eswenigstenseinengebundenenZustand.
Kein diskreterEigenwertexistiertfür folgendesPotential:
c) V∞ < E < V−∞
Für jeden Eigenwert E in diesem Intervall kann eine Eigenlösung
konstruiert werden. Diese muss sich für x → −∞ exponentiell an
die x-Achseanschmiegen,rechtsdavon oszilliert sie.Die Anstückelung
an den klassisch verbotenen Bereich ist stets möglich. Nach
rechtsistderklassisch erlaubteBereichunbeschränkt.
❀ kontinuierlichesSpektrum,nicht entartet
(wegenderAnstückelung)
Oszillatorisches Verhalten bis ∞ ❀ die Lösungen sind nicht mehr
normierbar (divergieren aber auch nicht). Sie beschreiben Teilchen,
dieins ∞elaufen können(also keinegebundenenZustände).
❀ kein verschwindenderWahrscheinlichkeitsstromfür x → ∞
d) E > V−∞
OszillatorischesVerhaltenüberdengesamtenx-Bereich;kontinuierliches,
zweifach entartetesEigenwertspektrum
Die zweifache Entartung ist eine Konsequenz der Existenz zweier
linear unabhängiger LösungenderDifferentialgleichung.
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