Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

9 BewegungimZentralfeld(Wasserstoffatom)
Unter Bewegungim Zentralfeld versteht man eine Bewegung, bei der das
Potential nur vom Betrag des Abstands vom Ursprung abhängt, also kugelsymmetrischist.
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Die Hamiltonfunktion bzw.derHamiltonoperatorlauten also:
H = p2
+V(r) r = x
2m 2 +y2 +z2 = |x|
ˆH = ˆp2
2m +V(|ˆx|),
bzw. in derOrtsdarstellung
ˆH = − ¯h2
2m ∆+V(r)
Physikalisch wichtigeFälle mit kugelsymmetrischemPotential:
1) V(r) = − e2
4πǫ0r
2) V(r) = − Ze2
4πǫ0r
Wasserstoffatom(Protonin Ruhe)
wird hier behandelt.
Z = 2: einfach ionisiertesHe-Atom,
Z = 3: zweifach ionisiertesLi-Atom,etc.
behandelbar wie Wasserstoff
3) V(r) = m
2 ω2 r 2 dreidimensionaler harmonischer Oszillator,
wegen V(r) = V(x) + V(y) + V(z)
auch einfacher behandelbar – über Pro-
4) V(r) =
5) V(r) = −c e−κr
r
−V0 r ≤ r0
0 r > r0
6) V(r) = 0 freies Teilchen
duktansatz ϕ(x) = ϕ1(x) ϕ2(y) ϕ3(z)
dreidimensionaler Potentialtopf (TröpfchenmodellfürKernkräfte)
abgeschirmtes Coulomb-Potential; (Yukawa-Potentialin
derKernphysik)
9.1 Klassische Bewegungim zentralsymmetrischenPotential
AusderBewegungsgleichung
m¨x = −∇V(r) = − dV
dr
·∇r = −dV
dr
x
r
= −dV
dr er
27 Dies ist eine Einschränkung gegenüber dem allgemeineren Begriff der Zentralkraft: Eine
ZentralkraftmusskeinPotential haben.
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