Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Anmerkungen:
1) DerDirac-Notation(bras,ketsundihrersymmetrischenBehandlung)
liegt die Fiktion zugrunde, dass Operatoren als Definitionsbereich
immer dengesamtenHilbertraumhaben.
2) SauberereDefinitionen:
A istsymmetrisch, 18 wenn〈Aϕ|ψ〉 = 〈ϕ|Aψ〉 ∀ |ϕ〉,|ψ〉 ∈ DA
A ist selbstadjungiert, wenn A † = A (also A symmetrisch ist und
D A † = DA). Allgemein gilt DA ⊆ D A †. Ist A auf einer in H dichten
Untermenge definiert, ist es u.U. möglich, eine selbstadjungierte Erweiterung
von A zu definieren, d.h. durch Einschränkungen an den
Definitionsbereich (evtl.) beider Operatoren (etwa über Randbedingungen),Gleichheit
derbeidenDefinitionsbereicheherbeizuführen.
A isthermitesch,wenn A † = A undwenn A beschränktist. 19
Für beschränkte Operatoren fallen die drei Begriffe zusammen, ansonsten
gilt: hermitesch ⇒ selbstadjungiert ⇒ symmetrisch (aber
nicht umgekehrt).
InendlichdimensionalenHilberträumenfallendiedreiBegriffeebenfalls
zusammen.
3) TypischeselbstadjungierteOperatorenderQuantenmechanikwieder
Orts- oder Impulsoperator sind unbeschränkt. Das äußert sich in der
ExistenzbetragsmäßigbeliebiggroßerEigenwerte.DerHamiltonoperator
eines Systems mit kinetischer Energie ist auch unbeschränkt.
Beispiele beschränkter Hamiltonoperatoren findet man in Spinsystemen
(dort hat die Energie nicht nur eine untere sondern auch eine
obereSchranke).
7.6 Matrixdarstellungvon Operatoren
Wir drückendieBeziehung
|ϕ〉 = A|ψ〉
durch Entwickeln von |ϕ〉 und |ψ〉 nach einem vollständigen ONS {|αn〉}
aus
|ϕ〉 = ∑ n
|ψ〉 = ∑ n
dn|αn〉
cn|αn〉
18FürJohnvonNeumann, einenderBegründerderTheoriederunbeschränkten Operatoren,
war dies hermitesch“.
19 ”
A istbeschränkt, wenn Aϕ < cϕ ∀ |ϕ〉 mit einer festen Konstante c. Beschränkte Operatorenhaben
alsDefinitionsbereichdengesamtenHilbertraum.
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