Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

ii) unsereRegelnsindnicht eindeutig
Beispiel:
klassisch sind H1 = p2
2m und H2 = 1
2m
funktion
Hamiltonoperatoren?
ˆH1 = − ¯h2 ∂
2m
2
∂x2 ˆH2 = − ¯h2
2m
1
√ x
∂ ∂
x
∂x ∂x
= − ¯h2 1 ∂
√
2m x ∂x
= − ¯h2
1 1
√
2m x 4 √ x
= − ¯h2
∂2 2m
1
√ x = − ¯h2
2m
− 1
2 √ x +√ x ∂
∂x
1
+
∂x2 4x2 3 − 1
√1 pxp
x 1 √ dieselbe Hamilton-
x
1
√ x
∂
∂x x
− 1
2 √ 1
+ √
3
x x
2 √ ∂ 1
+
x ∂x 2 √ ∂
x ∂x +√x ∂2
∂x2
= ˆH1
∂
∂x
Keine Vorschrift,die auf derKorrespondenzmit der klassischen Mechanik
beruht, kann solche Mehrdeutigkeiten vermeiden, da diese
von derNichtvertauschbarkeitvon Operatorenherrühren.
die FormderHamiltonfunktion, auf diedie Jordansche Regelanzuwendenist,mussempirisch
festgelegtwerden.
Praxis:
H(q,p) in kartesischenKoordinaten qi = xi i = 1,2,...3N kann [in
nahezu allen real vorkommendenFällen]auf dieForm
H = ∑ k
p 2 k
2m k
+ ∑ k
p kf k(x1,...x3N)+V(x1,x2,...x3N)
gebrachtwerden [in dernichtrelativistischen Physik]
Wenn der in den Impulsen lineare Term auftritt, ist er zu symmetrisieren:
∑ k
p kf k = 1
2 ∑ k
{p kf k(x1,...x3N)+ f k(x1,...x3N)p k} .
AnwendungderJordanschenRegelliefertdanndenrichtigenHamiltonoperator:
ˆH = − ∑ k
¯h 2
2m k
∂ 2
∂x 2 k
+ 1
2 ∑ k
¯h
i
∂
∂x k
+V(x1,...x3N)
fk(x1,...x3N)+ fk(x1,...x3N) ∂
∂xk 43