Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

entwickeln
|ϕ〉 = ∑cj βj cj =
j
βj
ϕ
〈βn| ϕ〉 = ∑cj βn
βj = ∑cjδnj = cn
j j
NotwendigeBedingungfür Konvergenz
n
d.h. ϕ−
∑
j=1
cj
2 < ∞
∑ j
Mit VollständigkeitvonHist diesauch hinreichend.
Beispiel: Raum derquadratintegrablenFunktionen L 2
d 3 x|ψ(x)| 2 < ∞
Skalarprodukt: 〈ϕ|ψ〉 = d 3 xϕ ∗ (x)ψ(x)
cjβj
−→
n→∞ 0 :
in derQM: 〈ψ| ψ〉 = Gesamtwahrscheinlichkeit = 1
7.3 bra-und ket-Vektoren
Skalarprodukte werden gemeinhin als Produkte zweier Vektoren aufgefasst.
Im R 3 ist es möglich, beide Vektoren eines Skalarprodukts oder Elemente
desselben Vektorraums anzusehen, i.A. sind die beiden Vektoren
Elementeausdualen Räumen.
|ψ〉 ∈ H
〈ϕ| ∈ H ∗
Skalarprodukt: 〈ϕ|ψ〉
(dualer Raum) 11
Diracs Bezeichnung: bra- undket-Vektoren
〈ϕ| |ψ〉
bra -c - ket
bracket=Klammer
Waswird umklammert?I.A.einOperator!
〈ϕ|A|ψ〉 =
Ā = 〈ψ| A|ψ〉
d 3 xϕ ∗ (x)A ψ(x) OrtsdarstellungdesSkalarprodukts
KompakteDarstellungderEntwicklungnach einem ONS:
|ϕ〉 = ∑cj αj j
αj
αj αj
ϕ
= ∑ j
cj = ∑ j
11 Bei einem Hilbertraum sind per definitionem H und H ∗ identisch. Wir werden aber im
nächsten Abschnitt sehen, dass für viele Anwendungen der Hilbertraum nicht ausreicht.
Füreine erweitertenHilbertraumsindRaum und dualerRaum verschieden.
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