Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

(b † ) n =
n −1
√2 e α2x2 /2 dn
d(αx) n e−α2 x2 /2
Anmerkung: b † hatkeinenormierbaren Eigenfunktionen:
b † χ(x) = λχ(x) ⇒ χ(x) = ce α2 x 2 /2− √ 2λx −→
x→∞ ∞
b †
Mit |n〉 =
n √ |0〉 erhalten wir als explizite Ortsdarstellung des n-ten
n!
Eigenzustands:
α
ψn(x) =
n!2n√π (−1)n e α2x2 /2 dn
d(αx) ne−α2 x2 (32)
Die hermiteschenPolynomesinddefiniertdurch[s.(6.25)]
Hn(ζ) = (−1) n e ζ2
ψn(x) =
d
dζ
n
e −ζ2
α
n!2 n√ π Hn(αx)e −α2 x 2 /2 , α =
[diesistidentisch mit Formel(6.24)]
mω
¯h
(31)
(33)
(34)
Eigenfunktionen: hermitesche Polynome, multipliziert mit Gaußfaktor,
derdieNormierbarkeitsichert
Die erstenhermiteschenPolynome:
H0(ξ) = 1
H1(ξ) = 2ξ
H2(ξ) = 4ξ 2 −2
H3(ξ) = 8ξ 3 −12ξ
Grad desPolynoms(= Anzahl seinerNullstellen)=Nummerierungsindex
8.3 Eigenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
108
Eigenwerte und Eigenfunktionen
gerade und ungerade Eigenfunktionenwechselnsich
ab
n = ZahlderNullstellen
beachte Verhalten nahe klassischenUmkehrpunkten!