Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

= ¯h
−sin ϕ±icos ϕ
i
±ie ±iϕ
L ± = ¯he ±iϕ
± ∂
∂
+icot ϑ
∂ϑ ∂ϕ
∂ ¯h cos ϑ
−
∂ϑ i sin ϑ
sin ϕ
ϑ
cos ϕ±icos
sin ϑ
cot ϑe ±iϕ
∂
∂ϕ
L 2 , s.Gl. (25), auch erhältlich aus L 2 = 1
2 (L+ L − +L − L + )+ L 2 z zu32
L 2 = − ¯h2
sin 2
sin ϑ
ϑ
∂ ∂ ∂2
sin ϑ +
∂ϑ ∂ϑ ∂ϕ2
Die Eigenfunktionenhängen(wie bereitserwähnt)nur von denWinkeln ϑ
und ϕ ab.
|l,m〉 −→ Y l,m(ϑ, ϕ)
Orthogonalitätsrelation
δll ′δmm ′ = l ′ ,m ′l,m
=
dΩ = sin ϑdϑdϕ
(50)
Y ∗
l ′ m ′(ϑ, ϕ)Y l,m(ϑ, ϕ)dΩ (51)
Y l,l ist am einfachsten aus der Ortsdarstellung zu bestimmen [s. (42a) und
(32)]:
∂ ∂
+icot ϑ Y
∂ϑ ∂ϕ
l,l(ϑ, ϕ) = 0
ausderzweitenGleichung folgtunmittelbar
L + |l,l〉 = 0 Lz|l,l〉 = ¯hl|l,l〉
¯h ∂
i ∂ϕ Yl,l(ϑ, ϕ) = ¯hlY l,l
(52)
Y l,l(ϑ, ϕ) = e ilϕ f l(ϑ) (53)
Forderung:Y l,l eindeutigin ϕ → l (und m) ganzzahlig
l,m ganze Zahlbeim Bahndrehimpuls
f l(ϑ) folgtaus dererstenGleichung (52):
∂fl ∂ϑ +icot ϑilf l = 0
∂fl cos ϑ
= l
∂ϑ sin ϑ fl(ϑ) dsin ϑ = cos ϑdϑ
1 dfl l
=
dsin ϑ sin ϑ
f l
32 EinedritteMöglichkeitderBerechnungbestehtinderBildungdesSkalarprodukts L·Lmit
Verwendungvon(26’).DabeiwerdenAbleitungenderEinheitsvektorene ϑ undeϕ benötigt.
129