Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

LzL + − L + Lz = LzLx +iLzLy−LxLz−iLyLz
= [Lz,Lx]+i
Lz,Ly = i¯hLy+i(−i¯hLx)
= ¯h(Lx +iLy) = ¯hL +
LzL −− L − Lz = LzLx −iLzLy−LxLz+iLyLz
= [Lz,Lx]−i
Lz,Ly = i¯hLy−i(−i¯hLx)
= −¯h(Lx −iLy) = −¯hL −
L + L − −L − L + = 2¯hLz
LzL + − L + Lz = ¯hL +
LzL − − L − Lz = −¯hL −
Schreitenwir nun zurVerwendungdieserOperatoren:
L 2 = 1
2 (L+ L − + L − L + )+Lz 2
(37)
(35b) L − L + = L 2 −Lz(Lz+¯h) (38a)
(35a) L + L − = L 2 −Lz(Lz−¯h) (38b)
mit (31), (32): L − L + |l,m〉 = ¯h 2 [l(l +1)−m(m+1)]|l,m〉
L + L − |l,m〉 = ¯h 2 [l(l +1)−m(m−1)]|l,m〉
was sich nochetwasschönerschreibenlässt:
L − L + |l,m〉 = ¯h 2 (l−m)(l+m+1)|l,m〉
(39a)
L + L − |l,m〉 = ¯h 2 (l+m)(l−m+1)|l,m〉 (39b)
L − L + und L + L − sindbeidespositiveOperatoren
〈ψ|L − L + |ψ〉 = L + ψ L + ψ = L + ψ 2 ≥ 0
〈ψ|L + L − |ψ〉 = L − ψ L − ψ = L − ψ 2 ≥ 0
die Erwartungswerte mit den Eigenzuständen |l,m〉, die auf 1 normiert
seien
〈l,m|L − L + |l,m〉 = ¯h 2 (l−m)(l+m+1) ≥ 0 (40a)
〈l,m|L + L − |l,m〉 = ¯h 2 (l+m)(l−m+1) ≥ 0 (40b)
Behauptung: (40) ⇒ −l ≤ m ≤ l (41)
Beweis: Fallunterscheidungen
i) m = 0 l(l+1) ≥ 0,
also l ≥ 0 ⇒ (41) oder l < −1, was wir aber ausschließen
können,daperAnsatz(undo.B.d.A.) l ≥ 0
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