Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Die Nützlichkeit derzeitunabhängigen Schrödingergleichungbestehtneben
der Tatsache, dass sie besonders interessante Lösungen der Schrödingergleichung
liefert (Differenzen von Energieeigenwerten sind experimentell
beobachtbare Größen), auch darin, dass eine Kenntnis aller Lösungen der
zeitunabhängigen Gleichung es erlaubt, die zeitabhängige Schrödingergleichungmit
beliebigerAnfangsbedingungzu lösen.
Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist eine partielle Differentialgleichung
unddas Findenihrer Lösungein Anfangswertproblem. Das heißt,neben
Randbedingungen (wie dem Verschwinden der Lösung im Unendlichen)
brauchen wir, um sie lösen zu können, eine Anfangsbedingung, etwa
ψ(x,0).WennwirnundenvollständigenSatzvonEigenfunktionender
zeitunabhängigen Schrödingergleichung haben, können wir die Anfangsbedingungnach
diesemSatzentwickeln.Dasgehtimmer, weil,wiewirnoch
sehenwerden,derHamiltonoperatoreineEigenschafthat, 8 diedafürsorgt,
dassdieseEigenfunktioneneineBasisdesfürdieLösungrelevantenFunktionenraumsbilden.
9 BesitzenwirnundieKoeffizientenderSuperposition
von Eigenfunktionen,die ψ(x,0) produziert,soerhält man diederLösung
ψ(x,t) durch einfache Multiplikation mit e −iEt/¯h , wobei E der jeweils zur
betreffenden Eigenfunktion gehörende Eigenwert ist. Damit hat man eine
ZerlegungderzeitabhängigenLösungdesAnfangswertproblemsnachder
durch dieEigenfunktionengegebenenBasis.
8 Hermitezität
9 einHilbertraum
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