Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Für die Berechnung betrachten wir zunächst die Wirkung von L − /¯h auf
eineFunktionderForme inϕ f(ϑ)
L− ¯h einϕf(ϑ) = e
(50) −iϕ
− ∂
ϑ ∂
+icos
∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
= e −iϕ
− ∂
ϑ
+iincos e
∂ϑ sin ϑ
inϕ f(ϑ)
= e i(n−1)ϕ
− ∂
ϑ
−ncos f(ϑ).
∂ϑ sin ϑ
e inϕ f(ϑ)
DenDifferentialoperatorinderKlammerkannmanraffiniertumschreiben:
allgemein
− ∂ ∂cos ϑ ∂
∂
= − = sin ϑ
∂ϑ ∂ϑ ∂cos ϑ ∂cos ϑ
sin 2 ϑ+cos 2 dsin ϑ
ϑ = 1 ⇒ 2sin ϑ +2cos ϑ = 0
dcos ϑ
dsin ϑ ϑ
= −cos
dcos ϑ sin ϑ
− ∂ ϑ
−ncos
∂ϑ sin ϑ
∂
= sin ϑ
∂cos ϑ
L −
¯h einϕ = e i(n−1)ϕ 1
sin n−1 ϑ
Y l,l−1 =
Y l,l−2 =
C l = (−1)l
2 l l!
Y l,m(ϑ, ϕ) = (−1)l
2 l l!
(l+l−1)!
Kugelflächenfunktionen
übliche Form:
Y l,m(ϑ, ϕ) =
+n∂sin ϑ
∂cos ϑ =
1
sin n−1 ϑ
∂
∂cos ϑ sinn ϑ
∂
∂cos ϑ sinn ϑ (56)
2l!(l −l+1)! C le i(l−1)ϕ 1
sin l−1 ϑ
(l+l−2)!
2l!(l −l+2)! Cle i(l−2)ϕ 1
sin l−2 ϑ
(2l+1)!
√
4π
(2l+1)(l+m)!
4π(l −m)!
(2l+1) (l−m)!
4π (l+m)! Pm l
Yl,−m(ϑ, ϕ) = (−1) m Y ∗
l,m (ϑ, ϕ)
131
∂
∂cos ϑ sin2l ϑ
2 ∂
sin
∂cos ϑ
2l ϑ
eimϕ sin m l−m ∂
sin
ϑ ∂cos ϑ
2l ϑ (57)
(cos ϑ)eimϕ
m ≥ 0 (58a)