Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

H0 = p2
2m
− e2
4πε0r
H S = eφ(x) = −eFz (E = −∇φ = +∇(Fz) = Fez)
(Elektron: e = −|e|)
DerGrundzustandist(bei VernachlässigungdesSpins)nicht entartet:
da
E1 = E (0)
1 +
ψ1,0,0H
S
ψ1,0,0
ψ1,0,0 = 1
√ 4π
2
a0
3 e−r/a0
ψ1,0,0H
S
ψ1,0,0 = 0
f(r)zdV = f(r)r cos ϑr 2 dr sin ϑdϑdϕ
π
0
cos ϑ sin ϑdϑ = 1
2
π
0
sin 2ϑdϑ = 0
die Energie des Grunzustands wird nicht linear mit F verschoben; in
zweiter störungstheoretischer Ordnung: quadratisches Verhalten in F,
Verschiebungnach unten
ErsterangeregterZustand(n = 2):vierfache Entartung; Eigenfunktionen
in derOrtsdarstellung:
ψ (0)
1 = ψ2,0,0 = R2,0(r)
ψ (0)
2 = ψ2,1,0 = R2,1(r)
ψ (0)
3/4 = ψ2,1,±1 = R2,1(r)
Radialfunktionen:
R2,0(r) = 1
8a0 3
R2,1(r) =
1
24a0 3
2− r
r
a0
1
√ (l = 0)
4π
√
3
√ cos ϑ =
4π 1
r R21(r)
√
3
√ z (l = 1)
4π
√
3
√ sin ϑe
8π ±iϕ = 1
√
3
√ (x±iy)
8π
a0
e −r/2a0
e −r/2a0
r R21(r)
Zur Berechnung der Energieaufspaltung E (1)
2α benötigen wir 4·4 = 16 Matrixelemente
H S αβ =
ψ (0)
α H S
ψ (0)
β = ψ (0) ∗
α (x)(−eFz) ψ (0)
β (x)dV
Nunist
x n y m z l f(r)dV = 0
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