Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

ˆL 2 hängt nur von den Winkelkoordinaten ab, woraus ebenfalls gefolgert
werdenkann,dass ˆL 2 mit ˆr kommutiert.
Aus der Darstellung des Gradienten in Kugelkoordinaten kann man auch
ˆL in diesenKoordinatenerhalten(s. Abschnitt9.2.6):
ˆL = ¯h
∂ eϑ ∂
eϕ − (26)
i ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
Mit ˆL 2
, ˆH = 0und ˆL 2
,ˆr = 0folgtauch = 0(mithilfe von(22)).
ˆL 2 , ˆp 2 r
9.2.5 BestimmungderEigenwerte undEigenvektorenvon L 2 und Lz
Von jetzt an lassen wir das ˆ über den Operatoren weg, um Schreibarbeit
zu vermeiden.
WirwerdenzunächstdieEigenwerteauschließlichausdenVertauschungsrelationen
der Komponenten des Drehimpulsoperators ableiten und dann
dieEigenfunktionenin derOrtsdarstellungbestimmen.
Vertauschungsrelationen
L = x×p ⇒ Li = εijk xj pk
Li,Lj = εilk εjsq xl pk,xs pq
= εilk εjsq xl pk xs
xs pk + ¯h
i δ pq −xs pq xl
sk xl pq + ¯h
i δ
pk ql
= εilk εjsq ✘✘✘✘✘ xl xs pk pq + ¯h
i xl pq δsk− ✘✘✘✘✘ xs xl pq pk − ¯h
i xs
pk δql = ¯h
εilk εjkq xl pq − εilk εjsl xs pk i
−εilk εjqk = −δijδlq+ δiqδlj −εikl εjsl = −δijδks+ δisδkj = ¯h
i ✘✘✘✘✘ −δijxl pl +xj pi + ✘✘ ✘✘
δij xk pk −xi pj
¯h
Li,Lj = xjpi−xipj = i¯h εijk Lk i
BeweisderletztenGleichung:
i¯h εijk Lk = i¯h εijk εklm xl pm = i¯h δilδjm− δimδjl = i¯h ¯h
xipj −xjpi = xjpi −xipj
i
Aus(27) erhaltenwir ferner
εijk Li,Lj = i¯h εijk εijs Ls = 2i¯hL k
2δks 121
xl pm
(27)