Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

wählt man die Komponente Lz. Wir wollen also simultan ein Eigenwertproblemfür
L 2 und Lz lösen:
L 2 |l,m〉 = ¯h 2 l(l+1) |l,m〉 (l ≥ 0) (31)
Lz|l,m〉 = ¯hm |l,m〉 (32)
Hier haben wir die Eigenwerte, um später keine neuen Größen einführen
zu müssen, in einer speziellen Form geschrieben. Diese stellt keine Einschränkung
der Allgemeinheit dar. Die Eigenwerte von L 2 können nicht
negativ sein 31 und jede Zahl x ≥ 0 ist eindeutig in der Form l(l +1) mit
l ≥ 0 darstellbar: x = l(l +1) l 2 +l − x = 0 l 1/2 = − 1
2 ±
undnur l1 ist nicht negativ.
1
4 +x,
Es wird sich später herausstellen, dass l und m ganz- oder halbzahlig sein
müssen.
Außerdem ist jede Eigenfunktion durch die beiden Eigenwerte zu L 2 und
Lz festgelegt, und wir haben die beiden Indizes l und m gewählt, um die
Eigenfunktionen ” durchzunummerieren“.(WirkönntenauchdievollenEigenwerte
nehmen, aber es wird sich herausstellen, dass die Quantenzahlen
l und m praktischersind.)Aufgrundvon
L 2 = Lx 2 +Ly 2 +Lz 2
und der speziellen Rolle von Lz (durch unsere Auswahl) müssen wir eigentlichein
Eigenwertproblemfür Lx 2 +Ly 2 und Lz simultan lösenundes
liegt nahe, diese Summe zweier Quadrate ähnlich zu behandeln wie beim
harmonischenOszillator α 2 + β 2 = (α−iβ)(α+iβ) .
Wir führenalso neueOperatorenein
L ± = Lx ±iLy
(L − ) † = L +
(L + ) † = L −
L + L − = Lx 2 +iLyLx −iLxLy+Ly 2 = Lx 2 +Ly 2 +¯hLz
L − L + = Lx 2 −iLyLx +iLxLy+Ly 2 = Lx 2 +Ly 2 −¯hLz
⇒ Lx 2 + Ly 2 = 1 + − − +
L L +L L
2
Vertauschungsrelationenfür L + ,L − ,Lz:
(35) ⇒ L + L − − L − L + = 2¯hLz
(33)
(34)
(35a)
(35b)
31 DasbeweistmanmitderfolgendenIdee:EigenwerteeinesOperatorslassensichalsErwartungswerte
mit der betreffenden auf eins normierten Eigenfunktion darstellen, hier also
L 2 |ψ〉 = λ|ψ〉 ⇒ λ = ψ L 2 ψ .ErwartungswertevonOperatorenderForm A † Akönnen
aber nicht negativ sein, insbesondere also auch nicht Erwartungswerte von hermiteschen
Operatorender Form A 2 , denn ψ A † A ψ = 〈Aψ|Aψ〉 = Aψ 2 ≥ 0. Wegen (33) ist also
jederErwartungswertvon L 2 eineSumme vonnichtnegativen Erwartungswerten.
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(36)