Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Schrödingergleichung:
− ¯h2
2m
d.h.
d2 +V(x)
dx2
ϕ = Eϕ (7)
ϕ ′′ + 2m
Eϕ = 0 2
¯h
für |x| > a (8a)
ϕ ′′ + 2m
(E+U)ϕ = 0 2
¯h
für |x| < a (8b)
Abkürzungen:
E = − ¯h2
2m κ2
U = ¯h2 2
k0
2m
k 2 = k0 2 −κ2 Lösung in den verschiedenen Bereichen (einfache lineare DifferentialgleichungzweiterOrdnungmit
konstantenKoeffizienten)
ϕ(x) = Acoskx+Bsinkx |x| ≤ a (10a)
ϕ(x) = Ce κ(a−x)
ϕ(x) = De κ(a+x)
(9)
x > a (10b)
x < −a (10c)
BestimmungderKonstantenausdenRandbedingungen,dasssowohl ϕ(x)
als auch ϕ ′ (x) stetigan x = ±a.
ϕ ′ (x) = −Aksinkx+Bkcoskx |x| ≤ a (11a)
ϕ ′ (x) = −κCe κ(a−x)
ϕ ′ (x) = κDe κ(a+x)
Acoska+Bsinka = C
−kAsinka+kBcoska = −κC
Acoska−Bsinka = D
kAsinka+kBcoska = κD
x > a (11b)
x < −a (11c)
x = a
x = −a
(12a)
(12b)
(13a)
(13b)
(12a)+(13a) : 2Acoska = C+D (14a)
−(12b)+(13b) : 2kAsinka = κ(C+D) (14b)
(14b)/(14a): ktanka = κ
tanka = κ
k
57
(15)