Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

(35): fn lineare Gleichungen fn linear
unabhängigeEigenvektoren
cn1β , cn2β ,... cnfnβ
β = 1,... fn
fn Eigenwerte
E (1)
n1 ,E(1) n2 ,... E(1)
das Eigenwertproblem (35) liefert die Verschiebungen der Energieeigenwertein
niedrigsterstörungstheoretischerOrdnung,d.h. HS nn aus Gleichung(23)
wirddurch dieseWerteersetzt.
Die Störungstheorie in höheren Ordnungen erfolgt dann formal wie die
Störungstheorie ohne Entartung, nur dass die Summationen über den Eigenwert-unddenEigenvektorindexerfolgenundfürentarteteEigenwerte
nicht nur ein Summand (l = n) weggelassenwird, sondern alle Summanden,dieeinenEnergienennerNullproduzierenwürden
36
(was auch als l = n formulierbar ist;aber statt ∑ haben wir ∑
l=n
nfn
f l
∑
l=n α=1
Von Null verschiedene Lösungen des Eigenwertproblems (35) gibt es nur,
falls (wir unterdrückendenIndexn)
det H S γβ −E(1)
δγβ = 0 (36)
Säkulargleichung
Liefert die Säkulargleichung Mehrfachwurzeln, so ist die Entartung nicht
vollständig aufgehoben und die Störungstheorie zweiter Ordnung wird
komplizierter.
Anmerkung: H S kommutiert im Allgemeinen nicht mit H0; dass H S in
einem Hilbertraum gleichzeitig mit H0 diagonalisierbar ist, widerspricht
nicht dieser Tatsache. Denn in einem Unterhilbertraum von Eigenfunktionen
zur selben Energie ist H0 effektiv identisch mit einem Vielfachen des
Einheitsoperators,undderistmitallenOperatorensimultandiagonalisierbar.
10.3.1 BeispielzurzeitunabhängigenStörungsrechnungmitEntartung:
Stark-Effekt beim H-Atom
H-Atomin zeitlich konstantemelektrischemFeld
E = Fez
(F > 0)
36 Da H S n,α;m,β im durch n = m definierten Unterraum diagonal ist, bleiben die Formeln (23),
(24) in gewissem Sinn richtig, nur ist immer, wenn E (0)
n = E (0)
l (also n = l und E (0)
n,α =
E (0)
m,β α = β) im Zähler H S n,α,m,β null, da HS indiesemUnterraum diagonalist.
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)