Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Nach der Messung der durch den Operator A beschriebenen Observablen
muss der Zustandsvektor so beschaffen sein, dass die Messung
derselbenObservablen einenfestenWert a liefert,wieoftman auch die
Messungwiederholt(ohneZeitverstreichenzu lassen!).
a ist für alle folgenden Messungenauch Mittelwert. Wenn aber der Erwartungswert
scharf ist, muss die Streuung des Messwerts in den betrachtetenZustandverschwinden
und
⇒ Ā = 〈ψ| A|ψ〉 = a (22a)
0 = (∆A) 2 = (A− Ā) 2 = ψ (A− Ā) 2
ψ
= (A− Ā)ψ (A− Ā)ψ
A † =A
Skalarproduktvon (A− Ā)|ψ〉 mit sich selbstverschwindet
⇒ (A− Ā)|ψ〉 = 0
Nullvektor desHilbertraums
(22b)
A|ψ〉 = Ā|ψ〉 = a|ψ〉 (23)
⇑
Eigenwertgleichung:|ψ〉 istEigenzustandvon A zum Eigenwert a
❀ Die ersteMessunghat denAusgangszustand|ψ vorher〉 auf denZustand
|ψ〉 projiziert ( ” geworfen“), der ein Eigenzustand der Messgröße ist.
Das istderKollaps der Wellenfunktion.
WelcherEigenzustanddabeiherauskommt,istnichtbekannt,wenn|ψ vorher〉
kein Eigenzustand von A war. Aber die Wahrscheinlichkeit für die Messung
eines Eigenwerts an erhalten wir durch Entwicklung von |ψ vorher〉
nach denEigenzuständen|αn〉 vonA:
denn:
|ψ vorher〉 = ∑ n
|ψ vorher〉 = ∑ n
cn|αn〉 ⇒ cn = 〈αn|ψ vorher〉 (24)
|αn〉〈αn|ψ vorher〉
cn
(unddie Entwicklungist eindeutig)
❀ Wahrscheinlichkeit für Messung des Eigenwerts an, der zum Eigenzustand|αn〉
gehört:
Beispiel:
|cn| 2 = |〈αn|ψ vorher〉| 2
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(25)