Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

DerGrenzübergang(3)lieferteinekontinuierlicheFunktionvon p,dieman
als Skalarprodukt
ψ(p) =
¯αp ψ
(4)
zwischen|ψ〉 unddemformalen Diracvektor
αp,∆p ¯αp = lim
∆p→0 ∆p
interpretierenkann.
Die Vollständigkeitsrelation liefertdann
|ψ〉 = lim
∆p→0 ∑ p
= lim
∆p→0 ∑ p
αp,∆p
¯αp
αp,∆p
ψ
¯αp
ψ ∆p =
Multipliziere vonlinks mit ¯αp ′
¯αp ′
ψ =
dp ¯αp ′
¯αp ¯αp
ψ .
dp ¯αp
¯αp
ψ Fürbeliebige|ψ〉 kann dieseGleichung nurgelten,falls
¯αp ′ ¯αp
′ = δ(p− p ) (7)
UneigentlicheVektorensind auf die δ-Funktionnormiert“!
”
Für|ψ〉 in (6) kann man natürlich auch
αp,∆p nehmen
αp,∆p =
dp ′ ¯α p ′
p+
¯αp ′ αp,∆p =
1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
dp ′ ¯α p ′
Die zweite Gleichung gilt, weil für |p ′ − p| > 1
orthogonalsind(perKonstruktion).
ImBereich p− 1
¯αp ′ ≈ 1
∆p
2 ∆p
¯αp ′ αp,∆p 2∆p < p′ < p+ 1
2∆pkönnenwir abersetzen
αp,∆p
(sofernnur ∆pgenügendklein)
1
1 p+ 2
αp,∆p ≈ ED(p) ≡ ∆p
∆p
p−1 2 ∆p
dp ′¯αp ′
” Eigendifferentialvon ¯αp“
79
(5)
(6)
(8)
¯α p ′ und αp,∆p
(9)