Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

usw. (sukzessiveIteration)
Füreinehinreichend kleineStörungist (45) ausreichend. 37
System,dasbei t = 0im Eigenzustand|l〉 ⇒ cn(0) = δ nl
(45) c(1) m (t) = δml + 1
t
dτ H
i¯h 0
S ml (τ)e−iωlmτ 0 ≤ t < T
c (1)
m (t) = c (1)
m (T) t ≥ T
(46)
Die Wahrscheinlichkeit, bei t ≥ T das System im Eigenzustand |m〉 = |l〉
zu finden,istin ersterNäherung
P l→m =
c (1)
m (T) 2
= 1
¯h 2
T
0
S −iω
Hml (τ)e lmτ
dτ
[Dass cm(t) = const. und damit P l→m konstant für t > T ist ein exaktes
Ergebnis,siehe(44)].
Für die Berechnung von |cl(t)| 2 = 1− ∑ c
m=l
(1)
m (t) 2
2
(47)
reicht die erste Ord-
nung der Störungstheorie [nach Gl. (46)] nicht aus, wie man durch Nachrechnenleicht
feststellt.(Aberman bekommtesjaohnehinmithilfe derErhaltung
derGesamtwahrscheinlichkeit.)
Falls das Integral in (46) für H S (t) = 0 für beliebige Zeiten konvergiert,
kann auch T → ∞ genommenwerden.
Allgemein lässt sich (47) mithilfe einer Fouriertransformation kompakter
darstellen
ˆH S
1 ∞
ml (ω) ≡ H
2π −∞
S ml (t)eiωtdt = 1
T
H
2π 0
S ml (t)eiωtdt (48)
P l→m = 4π2
¯h 2
ˆH S ml (ω
ml)
2
(49)
Beispiel: Rückstoßauf einen harmonischen Oszillator bei der Emission eines
γ−Quants (Modellfür denMößbauer-Effekt)
Anfangszustand=Grundzustand
H S (t) = −k(t)x = − Eγ
c δ(t)
k(t)
¯h
2m0ω (b† +b)
x
37 (k)
Der obere Index der c m (t) kennzeichnet hier nicht eine Korrektur einer Übergangsamplitude
sondern die vollständige Amplitude bis zur Ordnung k einschließlich. Die Korrektur
zweiter Ordnungistalso c (2)
m (t)−c (1)
m (t).
162