Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

DieSummein(49)gibtdenAnteilderWahrscheinlichkeitsdichteindiskretenEigenzuständenan.
Da solcheZuständemit endlicher Wahrscheinlichkeit
gefunden werden, muss die Wahrscheinlichkeitsdichte δ-Peaks aufweisen.
22 DerEinzelterm|c(a)| 2 isteinMaßfürdieWahrscheinlichkeit,den
WertaimkontinuierlichenTeildesSpektrumszumessen(Form:|c(a)| 2 da).
Was man dem Ausdruck (49) sehr schön ansieht, ist, dass bei Messungen
nur Eigenwerte gemessenwerden können. Liegt a außerhalb des kontinuierlichenAnteilsdesSpektrums,soistwA(a)Null,sofernanichtmiteinem
derEigenwertean übereinstimmt.Liegtaaberim kontinuierlichenTeildes
Spektrums,soist esauch Eigenwert.
Ortsoperator: A = ˆx c(a) = ψ(x) cn = 0 (kein diskreterAnteil
desSpektrums)
c(a) = 〈ψa|ψ〉 ⇔ ψ(x) = 〈ψx|ψ〉 ≡ 〈x|ψ〉
ˆx|ψx〉 = x|ψx〉
Impulsoperator: A = ˆp c(a) = g(p) cn = 0
g(p) =
ψp
ψ Beispiel: Berechnungvon wˆp(p) = |g(p)| 2 in derOrtsdarstellung
∞
wˆp(p) = dx ψ
−∞
∗ (x) δ(ˆp− p)ψ(x)
= 1
∞
dx ψ
2π −∞
∗ ∞
(x) dαe
−∞
i(ˆp−p)α ψ(x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ (x)e iα ¯h i d
dx ψ(x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ ∞ (α¯h)
(x) ∑
n=0
n n d
ψ(x)
n! dx
ψ (n) (x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ (x) ψ(x+α¯h)
(Faltungsintegral,nicht trivial)
7.8 Eigenvektoren vertauschbarerOperatoren
nur denFall einesdiskretenSpektrum(derEinfachheit halber)
|ψn〉 seiendieEigenvektorenzum Operator A
A|ψn〉 = an|ψn〉 (50)
B seieinOperator,dermit A vertauscht:
[A,B] = AB−BA = 0 (51)
22 Das Integralüber einbeliebigkleinesIntervall darfnicht verschwinden.
94