Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

ln f l = llnsin ϑ+lnC l
f l = C lsin ϑ l
Y l,l(ϑ, ϕ) = C lsin l ϑe ilϕ
Normierung:
1 =
π 2π
0 0
1
π
= 2π
|C 2
l| 0
I(l) = 2π
|C l| 2 sin 2l ϑ sin ϑdϑdϕ
sin 2l π
ϑ sin ϑdϑ = 2π sin
0
2l+1 ϑdϑ ≡ I(l)
(54)
π
− 2lsin
0
2l−1
ϑcos ϑ(−cos ϑ)dϑ
(sin 2l π
ϑ(−cos ϑ)
0
π
= 2π2l sin
0
2l−1 (1−sin 2 ϑ)dϑ = 2l[I(l−1)− I(l)]
(2l +1)I(l) = 2l I(l−1) I(l) = 2l
I(l−1), l ≥ 1
2l +1
π
sin ϑdϑ = 2π(−cos ϑ)
= 4π
π
I(0) = 2π
0
I(l) = 2l 2(l −1) 2(l −2)
· ·
2l+1 2l −1 2l −3 ...
2
3 ·4π
= 2l 2l 2(l −1) 2(l−1) 2(l −2)
2l+1 2l 2l −1 2l−2 2l −3 ...
2l 2
·l!
=
(2l+1)! ·4π
|C l| 2 =
(2l +1)!
4π(2 l l!) 2
0
4 2 2
· ·
4 3 2 ·4π
Cl = (−1)l
2l
(2l+1)!
l! 4π
derFaktor(−1) l ist natürlich nicht zwingend,
erwurdeausKonventionsgründenhinzugefügt
Yl,l(ϑ, ϕ) = (−1)l
2l
(2l +1)!
e
l! 4π
ilϕ sin l ϑ (55)
Die anderen Eigenfunktionen erhält man gemäß (46) durch wiederholte
Anwendungvon L − /¯h aufY l,l
Y l,m =
(l+m)!
L− (2l)!(l −m)! ¯h
l−m Yl,l 130